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jueves, 16 de marzo de 2023

DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS REALES

Tal como sucede en los números Racionales \mathbb{Q} el cociente de dos números reales es un número real, siempre que el divisor sea diferente de cero.

\forall \, a\in \mathbb{R}\, \, ;\, \, \forall\,  b\in \mathbb{R}\, \, ;\, \, b\neq 0\, \, ;\, \, \left ( a \div b\right )\in \mathbb{R}

Sabemos que: a\div b=c    equivale a: a=b\cdot  c    ó

                     \frac{a}{b}=c    equivale a: a=b\cdot  c

Ejemplos:

a) \frac{72}{9}=8    :    equivale a: 72 = 8(9)

b) \frac{x}{4}=6    :      equivale a: x = 4(6) =x = 24

Nota: Otra manera de representar el cociente de dos números a\div b es: ab^{-1}:

\frac{a}{b}=a\div b=ab^{-1}

Ejemplos:

a) 6\left ( 3^{-1} \right ) = 6\times \frac{1}{3}=2

b) 8x^{-1}=\frac{8}{x}

La reglas de los signos son las mismas que en \mathbb{Z} y \mathbb{Q}

1) El valor absoluto del cociente de los números reales es igual al cociente de sus valores absolutos:

\left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}

2) El cociente de dos números reales positivos es positivo.

\left ( + \right )\div \left ( + \right )=\left ( + \right )

Ejemplo:

\left ( + 8\right )\div \left ( + 2\right )=\left ( + 4\right )

3) El cociente de un número real positivo por otro negativo es un número real negativo.

\left ( + \right )\div \left ( - \right )=\left ( - \right )

Ejemplo:

\left ( + 15\right )\div \left ( -3\right )=\left ( -5\right )

4) El cociente de dos números reales negativos es un número real positivo.

\left ( - \right )\div \left ( - \right )=\left ( + \right )

Ejemplo:

\left ( - 18\right )\div \left ( -6\right )=\left ( +6\right )

5) El cociente de un número real cualquiera por el real cero no existe.

\frac{Numero}{Cero}=no\, \,  existe

Ejemplo:

\frac{10}{0}=no\, \,  existe

Cálculo del Cociente de Dos Números Reales.

Ejemplo:

Halla el cociente de 0,0\widehat{27} entre 3

Resolución:

Sabemos que: 0,0\widehat{27} = 0,0272727.....

Luego:

0,0\widehat{27}\div 3 = \frac{0,0272727.....}{3}=0,0090909.....

0,027\div 3=0,00909090.....=0,0\widehat{09}

Ejemplo:

Hallar el resultado de: 4\div \frac{1}{\sqrt{3}}

Resolución:

4\div \frac{1}{\sqrt{3}} = 4\times  \frac{\sqrt{3}}{1} = 4 x 1,732.... = 6,928

La división de los Reales es sólo distributiva por la derecha respecto a la adición y a la sustracción:

\left ( a+b \right )\div c=\left ( a\div c \right )+\left ( b\div c \right )\Rightarrow \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}

\left ( a-b \right )\div c=\left ( a\div c \right )-\left ( b\div c \right )\Rightarrow \frac{a-b}{c}=\frac{a}{c}-\frac{b}{c}  

Ejemplos:

1) \left ( x+6 \right )\div 3=\frac{x}{3}+\frac{6}{3}=\frac{x}{3}+2

2) \frac{3x+5}{3}=\frac{3x}{3}+\frac{5}{3}=x+\frac{5}{3}

Operaciones combinadas:

Si las operaciones con números Reales se presentan en formas combinadas, el resultado de ellas se obtiene respetando las reglas siguientes:

1) Las operaciones dentro de los signos de agrupación paréntesis, corchetes, llaves, se realizan primero.

2) Las operaciones se efectúan en el siguiente orden:

1ª La división

2ª La multiplicación

2ª La Adición y la Sustracción

Ejemplo:

Hallar el resultado de: \frac{4}{5}\times \sqrt{3}\div \sqrt{3}+0,\widehat{6}

Resolución:

\frac{4}{5}\times \sqrt{3}\div \sqrt{3}+0,\widehat{6} = \frac{4}{5}\times \sqrt{3}\times \frac{1}{\sqrt{3}}+0,\widehat{6}
=\frac{4}{5}+0,\widehat{6}
=\frac{4}{5}+\frac{6}{9}=\frac{4}{5}+\frac{2}{3}=\frac{15+8}{12}=\frac{23}{12}
\frac{23}{12}=1,91666.....=1,91\widehat{6}

Ejemplo:

Hallar el resultado de:

\sqrt{5}-\frac{3}{4}\div \left [ 16-2\left ( 5-4,6 \right )-1,8 \right ]; con la aproximación de un centésimo.

Resolución:

\sqrt{5}-\frac{3}{4}\div \left [ 16-2\left ( 5-4,6 \right )-1,8 \right ] = 2,236067.....-0,75 \div  [16 - 2(0,4) - 1,8]
= 2,24 - 0,75 \div  [16 - 0,8 - 1,8]
= 2,24 - 0,75\div [13,4]
= 2,24 - 0,055970
= 2,18403 = 2,18 (Aproximación al centésimo)

Ejemplo:

Hallar el resultado:

12\div \left [ \left ( \frac{7}{6}\div 2 \right )\times 3-\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right ) \right ]; con la aproximación de un centésimo.
12\div \left [ \left ( \frac{7}{6}\div 2 \right )\times 3-\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right ) \right ]=12\div \left [ \left ( \frac{7}{6}\times \frac{1}{2} \right )\times 3-\left (1,73-1,41 \right ) \right ]
=12\div \left [ \frac{7}{12}\times 3-\left ( 0,32 \right ) \right ]
=12\div \left [ \frac{7}{4}-\left ( 0,32 \right ) \right ]=12\div \left [ 1,75-0,32 \right ]
=12\div \left [ 1,43 \right ]=8,39 (aproximación al centésimo)

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