DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS REALES

Tal como sucede en los números Racionales $\mathbb{Q}$ el cociente de dos números reales es un número real, siempre que el divisor sea diferente de cero.

$ \forall \, a\in \mathbb{R}\, \, ;\, \, \forall\,  b\in \mathbb{R}\, \, ;\, \, b\neq 0\, \, ;\, \, \left ( a \div b\right )\in \mathbb{R}$

Sabemos que: $a\div b=c$    equivale a: $a=b\cdot  c$    ó

                     $\frac{a}{b}=c$    equivale a: $a=b\cdot  c$

Ejemplos:

a) $\frac{72}{9}=8$    :    equivale a: 72 = 8(9)

b) $\frac{x}{4}=6$    :      equivale a: x = 4(6) =x = 24

Nota: Otra manera de representar el cociente de dos números $a\div b$ es: $ab^{-1}$:

$$\frac{a}{b}=a\div b=ab^{-1}$$

Ejemplos:

a) $6\left ( 3^{-1} \right )$ = $6\times \frac{1}{3}=2$

b) $8x^{-1}=\frac{8}{x}$

La reglas de los signos son las mismas que en $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$

1) El valor absoluto del cociente de los números reales es igual al cociente de sus valores absolutos:

$$\left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}$$

2) El cociente de dos números reales positivos es positivo.

$$\left ( + \right )\div \left ( + \right )=\left ( + \right )$$

Ejemplo:

$$\left ( + 8\right )\div \left ( + 2\right )=\left ( + 4\right )$$

3) El cociente de un número real positivo por otro negativo es un número real negativo.

$$\left ( + \right )\div \left ( - \right )=\left ( - \right )$$

Ejemplo:

$$\left ( + 15\right )\div \left ( -3\right )=\left ( -5\right )$$

4) El cociente de dos números reales negativos es un número real positivo.

$$\left ( - \right )\div \left ( - \right )=\left ( + \right )$$

Ejemplo:

$$\left ( - 18\right )\div \left ( -6\right )=\left ( +6\right )$$

5) El cociente de un número real cualquiera por el real cero no existe.

$$\frac{Numero}{Cero}=no\, \,  existe$$

Ejemplo:

$$\frac{10}{0}=no\, \,  existe$$

Cálculo del Cociente de Dos Números Reales.

Ejemplo:

Halla el cociente de $0,0\widehat{27}$ entre 3

Resolución:

Sabemos que: $0,0\widehat{27}$ = 0,0272727.....

Luego:

$0,0\widehat{27}\div 3$ = $\frac{0,0272727.....}{3}=0,0090909.....$

$0,027\div 3=0,00909090.....=0,0\widehat{09}$

Ejemplo:

Hallar el resultado de: $4\div \frac{1}{\sqrt{3}}$

Resolución:

$4\div \frac{1}{\sqrt{3}}$ = $4\times  \frac{\sqrt{3}}{1}$ = 4 x 1,732.... = 6,928

La división de los Reales es sólo distributiva por la derecha respecto a la adición y a la sustracción:

$$\left ( a+b \right )\div c=\left ( a\div c \right )+\left ( b\div c \right )\Rightarrow \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$$

$$\left ( a-b \right )\div c=\left ( a\div c \right )-\left ( b\div c \right )\Rightarrow \frac{a-b}{c}=\frac{a}{c}-\frac{b}{c}$$  

Ejemplos:

1) $\left ( x+6 \right )\div 3=\frac{x}{3}+\frac{6}{3}=\frac{x}{3}+2$

2) $\frac{3x+5}{3}=\frac{3x}{3}+\frac{5}{3}=x+\frac{5}{3}$

Operaciones combinadas:

Si las operaciones con números Reales se presentan en formas combinadas, el resultado de ellas se obtiene respetando las reglas siguientes:

1) Las operaciones dentro de los signos de agrupación paréntesis, corchetes, llaves, se realizan primero.

2) Las operaciones se efectúan en el siguiente orden:

1ª La división

2ª La multiplicación

2ª La Adición y la Sustracción

Ejemplo:

Hallar el resultado de: $\frac{4}{5}\times \sqrt{3}\div \sqrt{3}+0,\widehat{6}$

Resolución:

$\frac{4}{5}\times \sqrt{3}\div \sqrt{3}+0,\widehat{6}$ = $\frac{4}{5}\times \sqrt{3}\times \frac{1}{\sqrt{3}}+0,\widehat{6}$
$=\frac{4}{5}+0,\widehat{6}$
$=\frac{4}{5}+\frac{6}{9}=\frac{4}{5}+\frac{2}{3}=\frac{15+8}{12}=\frac{23}{12}$
$\frac{23}{12}=1,91666.....=1,91\widehat{6}$

Ejemplo:

Hallar el resultado de:

$\sqrt{5}-\frac{3}{4}\div \left [ 16-2\left ( 5-4,6 \right )-1,8 \right ]$; con la aproximación de un centésimo.

Resolución:

$\sqrt{5}-\frac{3}{4}\div \left [ 16-2\left ( 5-4,6 \right )-1,8 \right ]$ = 2,236067.....-0,75 $\div $ [16 - 2(0,4) - 1,8]
= 2,24 - 0,75 $\div $ [16 - 0,8 - 1,8]
= 2,24 - 0,75$\div $[13,4]
= 2,24 - 0,055970
= 2,18403 = 2,18 (Aproximación al centésimo)

Ejemplo:

Hallar el resultado:

$12\div \left [ \left ( \frac{7}{6}\div 2 \right )\times 3-\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right ) \right ]$; con la aproximación de un centésimo.
$12\div \left [ \left ( \frac{7}{6}\div 2 \right )\times 3-\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right ) \right ]$=$12\div \left [ \left ( \frac{7}{6}\times \frac{1}{2} \right )\times 3-\left (1,73-1,41 \right ) \right ]$
$=12\div \left [ \frac{7}{12}\times 3-\left ( 0,32 \right ) \right ]$
$=12\div \left [ \frac{7}{4}-\left ( 0,32 \right ) \right ]=12\div \left [ 1,75-0,32 \right ]$
$=12\div \left [ 1,43 \right ]=8,39$ (aproximación al centésimo)