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viernes, 17 de marzo de 2023

RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

Sean "S", "C" y "R"  las medidas de un ángulo  en grados sexagesimales, centesimales y radianes, respectivamente. Estos tres números serán diferentes entre si, pero lo que si permanece constante es la relación que nos indica que parte es dicho ángulo del ángulo de una vuelta.

Siendo: 

\frac{S}{360}\, \, ;\, \, \frac{C}{400}\, \, ;\, \, \frac{R}{2\pi}    Estas relaciones deben ser iguales.

Luego:

\frac{S}{360}=\frac{C}{400}=\frac{R}{2\pi}    Sacamos la mitad a cada término de los denominadores.
\frac{S}{180}=\frac{C}{200}=\frac{R}{\pi}    (Fórmula simplificada)

Nota: Si queremos saber porque se ha obtenido esta fórmula simplificada tomemos de toda una circunferencia la mitad de ellas.



Consideremos el arco \widehat{AB}, cuya medida en cada uno de los sistemas es el siguiente:

\widehat{AB} = S (Grados Sexagesimales)
\widehat{AB} = C (Grados Centesimales)
\widehat{AB} = R (Radianes)

Consideremos también el arco \widehat{ABA'} cuya medida en cada uno de los sistemas es la siguiente:

\widehat{ABA'} = 180º, en el sistema sexagesimal (S)
\widehat{ABA'} = 200 g, en el sistema centesimal (C)
\widehat{ABA'} = \pi rad, en el sistema radial (R) 

POR PROPIEDAD EN GEOMETRÍA PLANA, SE SABE QUE:

Los ángulos en el centro de una circunferencia son proporcionales a los arcos intersectados por sus lados: 

Propiedad:

\frac{\angle AOB}{\angle AOA'}=\frac{AB}{ABA'}



Aplicando esta propiedad en las relaciones:

\frac{S}{180}=\frac{C}{200}=\frac{R}{\pi}
\frac{S}{180}=\frac{R}{\pi}               \frac{C}{200}=\frac{R}{\pi} 
Donde:  S = Número de grados sexagesimales
            C = Número de grados centesimales
            R = Número de radianes

RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CENTECIMAL

De la fórmula:

\frac{S}{180}=\frac{C}{200}=\frac{R}{\pi}

Obtenemos: 

\frac{S}{180}=\frac{C}{200}; sacamos la 20 ava a cada término de los denominadores.
\frac{S}{9}=\frac{C}{10}   :    (donde: 9º = 10 g)

CONVERSIÓN DE GRADOS CENTESIMALES A SEXAGESIMALES
Ejercicio:

Convertir: 160 g a grados sexagesimales

Resolución:

En la fórmula :

\frac{S}{9}=\frac{C}{10}        Reemplazamos: C = 160 g

Luego:

\frac{S}{9}=\frac{160}{10} 
S = 144º

Ejercicio:

Convertir: 28 g 32 min al sistema sexagesimal

Resolución:

La expresión 28 g 32 min se puede escribir así:

28 g 32 min 28 g + 32 min 

(32 min) convertimos a grados
28 g 32 min 28 g + 32 min x \frac{1\, g}{100\, min}
28 g 32 min 28 g + 0,32 g = 28,32 g
28 g 32 min = 28,32 g

Ahora convertimos los 28,32 g (Grados centesimales), al sistema sexagesimal
Por fórmula:

\frac{S}{9}=\frac{C}{10}        Reemplazamos: C = 28,32 g
\frac{S}{9}=\frac{28,32}{10}
S=\frac{28,32}{10}\times 9
S= 25,488º
S= 25º + 0,488º

(0,488º) convertimos a minutos
S= 25º + 0,488º x  \frac{60'}{1^{\circ}} = 25º + 29,28'
S = 25º + 29' + 0,28' 

(0,28') convertimos a segundos
S= 25º + 29' + 0,28' x \frac{60''}{1'}  = 25º + 29' + 16,8''
S = 25º29'17''

CONVERSIÓN DE GRADOS SEXAGESIMALES A CENTESIMALES
Ejercicio:

Convertir: 135º al sistema centesimal 

Resolución:

De la fórmula:

 \frac{S}{9}=\frac{C}{10}       Reemplazamos: S = 135º

Luego:

\frac{135^{\circ}}{9}=\frac{C}{10}
\frac{1350}{9}\times 10=C
150 g = C

Ejercicio:

Convertir: 36º25' al sistema centesimal 

Resolución:

La expresión se puede escribir así.
36º25': 36º + 25' 

(25') convertimos a grados 
36º25': 36º + 25' x \frac{1^{\circ}}{60'} = 36º + 0.4167º
36º25' = 36,4167º
S = 36,4167º

Ahora convertimos los 36,4167º al sistema centesimal 

Por la fórmula:

 \frac{S}{9}=\frac{C}{10}       Reemplazamos: S = 36,4167º

Luego:

\frac{36,4167^{\circ}}{9}=\frac{C}{10}
\frac{36,4167^{\circ}}{9}\times 10=C
40,4630 g = C

Nota: Para hallar el número de minutos y segundos centesimal a partir de la coma decimal, hacia la derecha se separan en grupos de2, siendo el primer grupo para los minutos y el segundo grupo para los segundos, 



Luego: 

C = 40 g 46 min 30 seg.

CONVERSIÓN DE RADIANES A GRADOS SEXAGESIMALES
Ejercicio:

Convertir: \frac{3\pi}{5}  rad a grados sexagesimales

Resolución:

Reemplazamos el valor de: R=\frac{3\pi}{5} rad

En la fórmula: \frac{S}{180}=\frac{R}{\pi} 

Luego:

\frac{S}{180}=\frac{\frac{3\pi}{5}}{\pi}
S = \frac{3}{5} x 180
S = 1080º

MÉTODO PRÁCTICO:

Sabemos que:


Luego, los \pi rad a grados sexagesimales

\frac{3\pi}{5} rad = 108º

CONVERSIÓN DE RADIANES A GRADOS CENTESIMALES
Ejercicio:

Convertir: \frac{2\pi}{5} rad a grados centesimales

Resolución:

Reemplazamos el valor de R =  \frac{2\pi}{5} rad en la fórmula
\frac{S}{180}=\frac{R}{\pi} 

Luego:

\frac{C}{200}=\frac{\frac{2\pi}{5}}{\pi}
C = \frac{2}{5} rad x 200
C = 80 g

MÉTODO PRÁCTICO:

Sabemos que: 180º = 200 g = \pi rad

Luego, convertimos los \frac{2\pi}{5} rad a grados centesimales: 
\frac{2\pi}{5} rad = \frac{2}{5} (200 g) = 2 (40 g)

\frac{2}{5} rad = 80 g

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