Sean "S", "C" y "R" las medidas de un ángulo en grados sexagesimales, centesimales y radianes, respectivamente. Estos tres números serán diferentes entre si, pero lo que si permanece constante es la relación que nos indica que parte es dicho ángulo del ángulo de una vuelta.
Siendo:
$\frac{S}{360}\, \, ;\, \, \frac{C}{400}\, \, ;\, \, \frac{R}{2\pi}$ Estas relaciones deben ser iguales.
Luego:
$\frac{S}{360}=\frac{C}{400}=\frac{R}{2\pi}$ Sacamos la mitad a cada término de los denominadores.
$\frac{S}{180}=\frac{C}{200}=\frac{R}{\pi}$ (Fórmula simplificada)
Nota: Si queremos saber porque se ha obtenido esta fórmula simplificada tomemos de toda una circunferencia la mitad de ellas.
Consideremos el arco $\widehat{AB}$, cuya medida en cada uno de los sistemas es el siguiente:
$\widehat{AB}$ = S (Grados Sexagesimales)
$\widehat{AB}$ = C (Grados Centesimales)
$\widehat{AB}$ = R (Radianes)
Consideremos también el arco $\widehat{ABA'}$ cuya medida en cada uno de los sistemas es la siguiente:
$\widehat{ABA'}$ = 180º, en el sistema sexagesimal (S)
$\widehat{ABA'}$ = 200 g, en el sistema centesimal (C)
$\widehat{ABA'}$ = $\pi$ rad, en el sistema radial (R)
POR PROPIEDAD EN GEOMETRÍA PLANA, SE SABE QUE:
Los ángulos en el centro de una circunferencia son proporcionales a los arcos intersectados por sus lados:
Propiedad:
$\frac{\angle AOB}{\angle AOA'}=\frac{AB}{ABA'}$
Aplicando esta propiedad en las relaciones:
$$\frac{S}{180}=\frac{C}{200}=\frac{R}{\pi}$$
$\frac{S}{180}=\frac{R}{\pi}$ $\frac{C}{200}=\frac{R}{\pi}$
Donde: S = Número de grados sexagesimales
C = Número de grados centesimales
R = Número de radianes
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CENTECIMAL
De la fórmula:
$\frac{S}{180}=\frac{C}{200}=\frac{R}{\pi}$
Obtenemos:
$\frac{S}{180}=\frac{C}{200}$; sacamos la 20 ava a cada término de los denominadores.
$\frac{S}{9}=\frac{C}{10}$ : (donde: 9º = 10 g)
CONVERSIÓN DE GRADOS CENTESIMALES A SEXAGESIMALES
Ejercicio:
Convertir: 160 g a grados sexagesimales
Resolución:
En la fórmula :
$\frac{S}{9}=\frac{C}{10}$ Reemplazamos: C = 160 g
Luego:
$\frac{S}{9}=\frac{160}{10}$
S = 144º
Ejercicio:
Convertir: 28 g 32 min al sistema sexagesimal
Resolución:
La expresión 28 g 32 min se puede escribir así:
28 g 32 min : 28 g + 32 min
(32 min) convertimos a grados
28 g 32 min : 28 g + 32 min x $\frac{1\, g}{100\, min}$
28 g 32 min : 28 g + 0,32 g = 28,32 g
28 g 32 min = 28,32 g
Ahora convertimos los 28,32 g (Grados centesimales), al sistema sexagesimal
Por fórmula:
$\frac{S}{9}=\frac{C}{10}$ Reemplazamos: C = 28,32 g
$\frac{S}{9}=\frac{28,32}{10}$
$S=\frac{28,32}{10}\times 9$
S= 25,488º
S= 25º + 0,488º
(0,488º) convertimos a minutos
S= 25º + 0,488º x $\frac{60'}{1^{\circ}}$ = 25º + 29,28'
S = 25º + 29' + 0,28'
(0,28') convertimos a segundos
S= 25º + 29' + 0,28' x $\frac{60''}{1'}$ = 25º + 29' + 16,8''
S = 25º29'17''
CONVERSIÓN DE GRADOS SEXAGESIMALES A CENTESIMALES
Ejercicio:
Convertir: 135º al sistema centesimal
Resolución:
De la fórmula:
$\frac{S}{9}=\frac{C}{10}$ Reemplazamos: S = 135º
Luego:
$\frac{135^{\circ}}{9}=\frac{C}{10}$
$\frac{1350}{9}\times 10=C$
150 g = C
Ejercicio:
Convertir: 36º25' al sistema centesimal
Resolución:
La expresión se puede escribir así.
36º25': 36º + 25'
(25') convertimos a grados
36º25': 36º + 25' x $\frac{1^{\circ}}{60'}$ = 36º + 0.4167º
36º25' = 36,4167º
S = 36,4167º
Ahora convertimos los 36,4167º al sistema centesimal
Por la fórmula:
$\frac{S}{9}=\frac{C}{10}$ Reemplazamos: S = 36,4167º
Luego:
$\frac{36,4167^{\circ}}{9}=\frac{C}{10}$
$\frac{36,4167^{\circ}}{9}\times 10=C$
40,4630 g = C
Nota: Para hallar el número de minutos y segundos centesimal a partir de la coma decimal, hacia la derecha se separan en grupos de2, siendo el primer grupo para los minutos y el segundo grupo para los segundos,
Luego:
C = 40 g 46 min 30 seg.
CONVERSIÓN DE RADIANES A GRADOS SEXAGESIMALES
Ejercicio:
Convertir: $\frac{3\pi}{5}$ rad a grados sexagesimales
Resolución:
Reemplazamos el valor de: $R=\frac{3\pi}{5}$ rad
En la fórmula: $\frac{S}{180}=\frac{R}{\pi}$
Luego:
$\frac{S}{180}=\frac{\frac{3\pi}{5}}{\pi}$
S = $\frac{3}{5}$ x 180
S = 1080º
MÉTODO PRÁCTICO:
Sabemos que:
Luego, los $\pi$ rad a grados sexagesimales
$\frac{3\pi}{5}$ rad = 108º
CONVERSIÓN DE RADIANES A GRADOS CENTESIMALES
Ejercicio:
Convertir: $\frac{2\pi}{5}$ rad a grados centesimales
Resolución:
Reemplazamos el valor de R = $\frac{2\pi}{5}$ rad en la fórmula
$\frac{S}{180}=\frac{R}{\pi}$
Luego:
$\frac{C}{200}=\frac{\frac{2\pi}{5}}{\pi}$
C = $\frac{2}{5}$ rad x 200
C = 80 g
MÉTODO PRÁCTICO:
Sabemos que: 180º = 200 g = $\pi$ rad
Luego, convertimos los $\frac{2\pi}{5}$ rad a grados centesimales:
$\frac{2\pi}{5}$ rad = $\frac{2}{5}$ (200 g) = 2 (40 g)
$\frac{2}{5}$ rad = 80 g
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