NÚMERO NATURAL

Al considerar lo que tiene en común todos los conjuntos coordinables surge el concepto de número natural.

$\mathbb{N}$ = {0, 1, 2, 3, 4, ....................}

Admitimos al cero como cardinal del conjunto vacío.
Para representar los números naturales basta tomar una semirecta $r_{1}$ y el origen O de la semirecta que representa el número cero. A continuación se toma un segmento $\overline{OU}$ como unidad de longitud y se lleva sucesivamente hacia la derecha. Los puntos de división representan los números naturales.

Hemos establecido así una aplicación entre el conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales y los puntos de la semirecta $r_{1}$. El número que corresponde a una división se llama abscisa de dicho punto. Esta aplicación es inyectiva, ya que a cada número le corresponde un punto y sólo uno, pero hay puntos que no tienen su preimagen en $\mathbb{N}$.

Recuerda que:

Conjunto Coordinables: Para que un conjunto son coordinable con otro, ambos tienen que tener el mismo número de elementos, es decir que su correspondencia tiene que ser Biunivoca, o correspondencia uno a uno.

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

A) LA ADICIÓN: Es una operación cerrada en $\mathbb{N}$. Esto quiere decir que "La suma de dos números naturales es un número natural".

Ejemplos:

4 + 5 = 9 ; si: 4 $\in \mathbb{N}$ ; 5 $\in \mathbb{N}$    $\Rightarrow $    9 $\in \mathbb{N}$

8 + 6 = 14 ; si: 8 $\in \mathbb{N}$ ; 6 $\in \mathbb{N}$    $\Rightarrow $    14 $\in \mathbb{N}$

B) LA MULTIPLICACIÓN: Es una operación cerrada en $\mathbb{N}$; pues quiere decir que "El producto de dos números naturales es un número natural". 

Ejemplos: 

8 x 3 = 24 ; si: 8 $\in \mathbb{N}$ ; 3 $\in \mathbb{N}$    $\Rightarrow $    24 $\in \mathbb{N}$

7 x 5 = 35 ; si: 7 $\in \mathbb{N}$ ; 5 $\in \mathbb{N}$    $\Rightarrow $    35 $\in \mathbb{N}$

C) LA POTENCIACIÓN: Es una operación cerrada en $\mathbb{N}$; pues quiere decir que "Un número natural, elevado a un exponente natural resulta otro número natural".  

Ejemplo:

$4^{2}$ = 16 ; si: 4 $\in \mathbb{N}$ ; 2 $\in \mathbb{N}$    $\Rightarrow $    16 $\in \mathbb{N}$

$5^{3}$ = 125 ; si: 5 $\in \mathbb{N}$ ; 3 $\in \mathbb{N}$    $\Rightarrow $    125 $\in \mathbb{N}$

D) LA SUSTRACCIÓN, LA DIVISIÓN Y LA RADICACIÓN: No son operaciones cerradas en $\mathbb{N}$, pues quiere decir que: "La diferencia de dos números naturales, no siempre es un número natural".

"El cociente de dos números naturales, no siempre es un número natural".
"La raíz de un número natural, no siempre es un número natural".   

Ejemplos:

4 - 7 = -3 ; si: 4 $\in \mathbb{N}$ ; 7 $\in \mathbb{N}$    $\Rightarrow $    -3 $\notin \mathbb{N}$   

9 $$ 4 = 2,25 ; si: 9 $\in \mathbb{N}$ ; 4 $\in \mathbb{N}$    $\Rightarrow $    2,25 $\notin \mathbb{N}$ 

$\sqrt{3}=\sqrt[2]{3}$ = 1,7320508.... ; si: 2 $\in \mathbb{N}$ ; 3 $\in \mathbb{N}$    $\Rightarrow $    1,7320508... $\notin \mathbb{N}$ 

PROPIEDADES DE $\mathbb{N}$

1) El conjunto de números naturales es infinito 

2) Tiene primer número: Cero. No tiene último elemento.

3) Todo número natural tiene un sucesor. Un número natural y su sucesor se dicen consecutivos.

Ejemplo:

6 es sucesor de 5 $$ 5 y 6 son consecutivos.

4) Todo número, excepto el cero tiene un antecesor.

5) Entre dos números naturales existe siempre un número finito de números naturales. Por eso decimos que el conjunto de números naturales es discreto.

Por ejemplo:

Entre 2 y 3 existe 0 números naturales.

Entre 2 y 4 existe 1 números naturales.  

Entre 2 y 5 existe 2 números naturales.

Entre 4 y 12 existe 7 números naturales.