CONSTRUCCIONES DE TRIÁNGULOS

JUSTIFICACIÓN DE LA CONSTRUCCIÓN, CON REGLA Y COMPÁS DE UN ÁNGULO IGUAL AL OTRO.

Para construir un ángulo igual a otro, por ejemplo igual al $\widehat{ABC}$, se procede así: 

Dato

Construcción

Se considera la semirrecta $\overrightarrow{B'C'}$. Se traza un arco de circunferencia de centro B y radio arbitrario, que corta a los lados $\overrightarrow{BA}\, y \, \overrightarrow{BC}$ en P y Q respectivamente. Con centro B' y el mismo radio anterior, se traza el arco de circunferencia que corta a la semirecta $\overrightarrow{B'C'}$ en Q'. Con un radio igual a $\overrightarrow{PQ}$ y centro en Q' se traza un arco de circunferencia que corta al arco anterior en P'. Trazando la semirrecta $\overrightarrow{B'P'}$ queda determinado el $\widehat{A'B'C'}$ que es igual al ángulo dado, es decir:
$\widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC}$
 Se demuestra que el $\widehat{A'B'C'}$ construido es igual al $\widehat{ABC}$, como consecuencia del tercer criterio de igualdad de triángulos. En efecto, los triángulos $\bigtriangleup BPQ \,\,  y\, \bigtriangleup B'P'Q'$ son iguales por tener sus tres lados respectivamente iguales por construcción y, por consiguiente, también sus ángulos son respectivamente igua­les; entre ellos:  
$\widehat{PBQ}=\widehat{P'B'Q'}$
o sea: $\widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}$
y la construcción queda justificada.

JUSTIFICACIÓN DE LA CONSTRUCCIÓN, CON REGLA Y COMPÁS, DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Como ya se ha visto, para construir con el compás la bisec­triz de un ángulo, el O, por ejemplo, se procede así:
Se traza un arco de circunferencia con centro en el vértice del ángulo y radio arbitrario, que corta a los lados del ángulo en los puntos M y N. Con radio mayor que la mitad de $\overline{MN}$ se trazan dos arcos de circunferencia, uno con centro en M y otro con centro en N. Estos arcos se cortan en el punto P, dado que las circunferencias resultan secantes, pues por construcción, son iguales y tienen sus radios mayores que la mitad de la distancia entre los centros. La semirrecta que tiene por origen el vértice del ángulo y pasa por el punto P es la bisectriz buscada.

En efecto, uniendo P con M y N, quedan formado los triángulos $\bigtriangleup OMP$ y $\bigtriangleup ONP$,
que tiene:
$\overline{OP}$ común
$\overline{OM}=\overline{ON}$ por radios de una misma circunferencia
$\overline{MP}=\overline{NP}$ por radios de circunferencias iguales.  
Luego, por el tercer criterio de igualdad de triángulos, se tiene:
$\bigtriangleup OMP=\bigtriangleup ONP$
y, por definición de triángulos iguales, sus ángulos homólogos son iguales entre ellos:
$\widehat{MOP}=\widehat{NOP}$
$\therefore \, \overrightarrow{OP}$ es bisectriz de $\widehat{MON}$
y la construcción queda justificada.

CONSTRUIR UN TRIÁNGULO DADOS DOS LADOS Y EL ÁNGULO COMPRENDIDO.

En estos problemas, antes de comenzar la construcción, se acostumbra hacer una figura, llamada figura de análisis, para facilitar el razonamiento y hallar la solución, que en todos los problemas siguientes se dibujan en negro. Como los elementos de la figura de análisis no tienen por qué ser iguales a los datos, se marca con una, dos, tres, etc., crucecitas los ele­mentos de la figura de análisis, correspondientes a los que figuran en los datos con una, dos, etc., rayitas, o uno o dos arcos respectivamente.

Datos

Figura de análisis

Construcción

Esta construcción es en todo semejante a la del problema que condujo al enunciado del primer criterio de igualdad de triángulos. En efecto se construye el ángulo $\widehat{M'A'N'}=\widehat{A}$; sobre el lado $\overrightarrow{A'M'}$ se determina $\overline{A'C'}$ y sobre el lado $\overrightarrow{A'N'}$ se determina $\overrightarrow{A'B'}=c$. Se une B' con C' y se obtiene el $\bigtriangleup A'B'C'$ que es el triángulo pedido.

CONSTRUIR UN TRIÁNGULO DADO UN LADO Y LOS ÁNGULOS ADYACENTES.

Datos

Figura de análisis

Construcción

Se construye $\overrightarrow{A'C'}=b$
Con vértice A' se construye el ángulo $\widehat{MA'C'}$; con vértice en C' se construye el ángulo $\widehat{NC'A'}=\widehat{C}$.
Las semirrectas $\overrightarrow{A'M}\, y\, \overrightarrow{C'N}$ se cortan en B', obteniéndose el $\bigtriangleup A'B'C'$ que es el triángulo pedido.

CONSTRUIR UN TRIÁNGULO DADOS UN LADO UN ÁNGULO ADYACENTE Y EL ÄNGULO OPUESTO A DICHO LADO.

Se construye el ángulo $\widehat{MA'N}=\widehat{A}$; sobre el lado $\overrightarrow{A'N}$ se determina $\overrightarrow{A'C'}=b$. Como no se conoce la posición de B' sobre la $\overrightarrow{A'M}$, no se puede construir el $\widehat{B'}=\widehat{B}$. Es necesario reducir este problema al caso anterior, calculando el valor de $\widehat{C'}$.

Datos

Figura de análisis

Construcción

Recordando que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 2 rectos y que, por consiguiente, uno de los ángulos es igual a 180º menos la suma de los otros dos, como en este caso se conocen los ángulos $\widehat{A'}\, y\, \widehat{B'}$, para hallar el $\widehat{C'}$ basta encontrar el suplemento de ($\widehat{A'}+\widehat{B'}$). Para ello se construye $\widehat{MA'P}=\widehat{B}$, consecutivo con $\widehat{MA'N}$: trazando la semirecta $\overrightarrow{A'R}$, opuesta a la $\overrightarrow{A'C'}$, queda determinado el $\widehat{PA'R}$ igual al $\widehat{C'}$. Por el punto C' $C'Q//A'P$ y queda determinado así el $\widehat{C'}$ igual al $\widehat{PA'R}$ por ser ángulos correspondientes entre paralelas. la intersección de las $\overrightarrow{A'M}$ y $\overrightarrow{C'Q}$ determina el punto B' tercer vértice del $\bigtriangleup A'B'C'$ que es el triángulo pedido.

CONSTRUIR UN TRIÁNGULO DADOS LOS TRES LADOS.

Datos

Figura de análisis

Construcción

Se construye $\overline{A'C'}$ se traza un arco de circunferencia de centro A' y radio c y un arco de circunferencia de centro C' y radio a, que se cortan en B'. Uniendo B' con A' y C', se obtiene el $\bigtriangleup A'B'C'$ que es el triángulo pedido.

CONSTRUIR UN TRIÁNGULO DADOS DOS LADOS Y EL ÁNGULO OPUESTO MAYOR DE ELLOS.

Datos

Figura de análisis

Construcción

Se construye el ángulo $\widehat{MB'N}=\widehat{B}$; sobre el lado $\overrightarrow{B'M}$ se construye $\overrightarrow{B'A'}=c$; se traza un arco de circunferencia de centro A' y radio b que corta a la $\overrightarrow{B'N}$ en C' y se obtiene el $\bigtriangleup A'B'C'$ que es el triángulo pedido.

CONSTRUIR UN TRIÁNGULO ISÓSCELES DADOS LA BASE Y UNO DE LOS LADOS IGUALES.

Sea, por ejemplo, construir un triángulo isósceles tal que su base sea un segmento igual al $\overline{AB}$ y uno de los otros lados igual al $\overline{MN}$.
Para obtener el triángulo pedido, se construye un segmento igual al $\overline{AB}$, sea el $\overline{A'B'}$. Se traza !a circunferencia de centro A' y radio $\overline{MN}$ y la circunferencia de centro B' e igual radio. Estas circunferencias se cortan en dos puntos, C y D. Uniendo uno cualquiera de esos puntos, por ejemplo, el C, con A' y B', se tiene el triángulo pedido, pues, por construcción tienen la base Igual a $\overline{AB}$ y los lados $\overline{A'C}$ y $\overline{B'C}$ iguales a $\overline{MN}$, por ser radios de las circunferencias iguales de cen­tros A' y B'. 

OBSERVACIÓN

Para que el problema propuesto tenga solución, las dos circunferencias de la construcción deben ser secantes, es decir, deben cortarse en el punto C y, en consecuencia, queda determinado el, $\bigtriangleup A'B'C'$. Para que este triángulo exista debe verificarse, de acuerdo con la propiedad triangular, que uno cualquiera de los lados sea menor que la suma de los otros dos, y entre ellos debe ser: 
$\overline{A'B'}<\overline{A'C}+\overline{B'C}$
Como:
$\overline{A'C}=\overline{B'C}=\overline{MN}$
sustituyendo en la desigualdad anterior se obtiene:
$\overline{A'B'C}<2\overline{MN}$
Luego:
$2\overline{MN}>\overline{A'B'}$
y pasando 2 al segundo miembro:
$\overline{MN}>\frac{\overline{A'B'}}{2}$ o sea $\overline{MN}>\frac{\overline{AB}}{2}$
Por lo tanto los datos deben ser tales que el segmento que corresponde a los lados iguales debe ser mayor que la mitad del segmento base.
Si los datos no satisfacen esa condición, el problema es irresoluble.
NOTA: En la práctica, basta trazar los arcos de las circunferencias que determinan el punto de intersección considerado, en este caso el punto C.

CONSTRUIR UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO DADO EL LADO

Este problema es el caso particular del anterior, cuando el segmento $\overline{MN}$ es igual al $\overline{AB}$. Luego, para construir el triángulo equilátero de lado igual al segmento $\overline{AB}$, se procede así.
1) Se construye un segmento $\overline{A'B'}=\overline{AB}$.
2) Se trazan los arcos de circunferencias de radio $\overline{AB}$ y centros A' y B', respectivamente, que se cortan en C'.
3) Se unen los puntos A' y B' con C', obteniéndose así el $\bigtriangleup A'B'C'$, que es el triángulo pedido.
En este caso particular, el problema tiene siempre solución, pues los radios $\overline{A'C'}\, y\, \overline{B'C'}$ son iguales a la distancia $\overline{A'B'}$ de los centros y, por consi­guiente, mayores que la mitad de dicha distancia; luego, las circunferencias de la construcción son secantes.