MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) DE NÚMEROS NATURALES

 MÉTODOS DE CÁLCULO

EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ( M.C.M.)

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos números es el menor número (distinto de cero) que es múltiplo común de ambos números. Este concepto se aplica, en la Suma o Resta de números racionales, al tener que buscar un Denominador Común para dos o más fracciones.

Ejemplo: 

$$\frac{1}{6}+\frac{1}{8}$$

a) Podemos tomar como denomina­dor común a 48, este número contiene a los tiene a los números 6 y 8.
$$\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{8}{48}+\frac{6}{48}=\frac{14}{48}$$
b) Podemos tomar como denominador común a 24, ­este número contiene a los tiene a los números 6 y 8.
$$\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{4}{24}+\frac{3}{24}=\frac{7}{24}$$

En el ejemplo a); no tomamos el mínimo común denominador (m.c.d.)

En el ejemplo b); se tomó el m.c.d. el trabajo de sumar y restar números racionales se simplifica muchas veces al tomar como denominador común el m.c.d. para hallarlo, se busca el m.c.m. de los denominadores.

1) Múltiplos de (6)   $\Rightarrow$   P = { 0 , 6 , 12 , 18 , 24 , 30 . 36 , 42 , 48..}
2) Múltiplos de (8)   $\Rightarrow$   Q = { 0 , 8 , 1 6 , 24 , 3 2 , 40 , 48 , 56...}
3) Múltiplos comunes de 6 y 8 diferentes de cero son: $P\cap Q=\left \{ 24;48 \right \}$

Luego: El m.c.m. de 6 y 8 es 24

Quizás sea más fácil escribir la lista de los múltiplos del número mayor hasta llegar a uno que sea también múltiplo del número menor.

Ejemplos: Hallar el m.c.m. de 6 y 4.

Múltiplos de 6  $\Rightarrow$  { 0 , 6 , 12 }
El 12 es también múltiplo de 4

El m.c.m. de 6 y 4 es 12

MÉTODOS PARA CALCULAR EL MINIMO COMÚN MULTIPLO (M.C.M.) DE DOS O MÁS NÚMEROS

1) Por Factorización en sus Factores Primos:

El m.c.m. de dos o más números factorizados en sus factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente.

Ejemplo: Hallar el m.c.m. de: 160 y 240.

Resolución:

Factorizamos cada número dado en sus factores primos así:

$$160=2^{5}\times 5$$

$$240=2^{4}\times 3\times 5$$
De donde: $160=2^{5}\times 5$
                $240=2^{4}\times 3\times 5$

Se escoge factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente.

$$m.c.m.(160\,  y \, 240) = 2^{5}\times 5\times 3=32\times 15=480$$

Ejemplo: Hallar el m.c.m. de: 40, 60 y 80.

Resolución:

$$40=2^{3}\times 5$$

$$60=2^{2}\times 3\times 5$$

$$80=2^{4}\times 5$$
De donde: $40=2^{3}\times 5$
                $60=2^{2}\times 3\times 5$
                $80=2^{4}\times 5$

Se escoge factores primos comunes y comunes afectados de su mayor exponente.
$$m.c.m.(40,\,   \, 60\, y\, 80) = 2^{4}\times 5\times 3=16\times 15=240$$

2) Método Abreviado Para Hallar el M.C.M.

Este método abreviado consiste en dividir cada uno de los números por el menor divisor primo posible, hasta que los cocientes sean igual a la unidad.

Ejemplo: Hallar el m.c.m. de: 42 y 56.

Resolución:

Luego: El m.c.m. de 42 y 56 es: $2^{3}\times 3\times 7=8\times 21=168$

Ejemplo: Hallar el m.c.m. de: 60, 70 y 72.

Resolución:

Luego: El m.c.m. de 60, 70 y 72 es: $2^{3}\times 3^{2}\times 5\times 7=8\times 9\times 35=2520$

3) Por el Máximo Común Divisor (M.C.D):

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos números es igual a su producto dividido entre su máximo común divisor (M.C.D.).

Ejemplo: Halla el m.c.m. de: 70 y 84

Resolución:

Primero , hallamos el M.C.D. de 70 y 84, por medio de divisiones sucesivas, así:

El M.C.D. de 70 y 84 es: 14

Luego: $m.c.m=\frac{producto\,  de \, dos \, numeros}{M.C.D. \, de\, dichos\, numeros }$
$m.c.m=\frac{84\times 70}{14}=6\times 70=420$

m.c.m ( 70 y 84 ) = 420

Ejemplo: Hallar el m.c.m. de 36 y 48.

Resolución:

Primero hallamos el M.C.D. de 36 y 48; por medio divisiones sucesivas, así:

El M.C.D. de 36 y 48 es: 12
Luego: $m.c.m=\frac{36\times 48}{12}=3\times 48=144$

m.c.m ( 36 y 48 ) = 144

APLICACIONES AL CÁLCULO DE FRACCIONES

1) Mínimo Común Denominador: Para reducir fracciones a mínimo común denominador (m.c.d), se toma como tal el m.c.m. de los denominadores y se multiplica cada numerador por el cociente de dividir el denominador común por el denomi­nador respectivo.

Ejemplo: 

Sean las fracciones: $\frac{1}{2}\, ;\frac{5}{6}\, ;\, \frac{4}{9}$

El m.c.m. de los denominadores es:

m.c.m ( 2 , 6 y 9 ) = 2 x 3 x 3 = 18

El denominador común de las fracciones es: 18

Luego:

Ejemplo:

Sean las fracciones: $\frac{3}{4}\, ;\frac{7}{8}\, ;\, \frac{5}{12}$

El m.c.m. de los denominadores es:

m.c.m ( 4 , 8 y 1 2 ) = 2 x 2 x 2 x 3 = 24

El denominador común de las fracciones es: 24

Luego:

2) Fracciones Irreductibles: Una fracción es irreductible si su numerador y su denominador son primos entre si:

Ejemplo:

$\frac{4}{7}\, \, \Rightarrow$ Es una fracción irreductible porque 4 y 7 son números primos entre si o primos relativos porque tienen como divisor común a la unidad.
$\frac{4}{7}\, ;\, \frac{11}{16}\, ;\, \frac{24}{5}\, \, \Rightarrow$ son fracciones irreducibles.

3) Simplificar una Fracción: Significa hallar la fracción irreductible equivalente a la fracción dada.

Ejemplo:

Simplificar la fracción: $\frac{8}{24}$

Resolución:

Sacamos la mitad del numerador y denominador $\Rightarrow \, \, \frac{8}{24}=\frac{4}{12}$
sacamos la mitad del numerador y denominador $\Rightarrow \, \, \frac{4}{12}=\frac{2}{6}$
sacamos la mitad del numerador y denominador $\Rightarrow \, \, \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Luego: $\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$