SOLUCIONES MATEMÁTICAS COESMAR: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

CRITERIOS PRELIMINARES.

RAZÓN.

En forma preliminar se lo define como la comparación entre dos cantidades, por medio de un cociente aplicando esta definición a un triángulo cualquiera y relacionando sus tres lados 2 a 2 obteniendo 6 razones:

$\frac{a}{b} \; ,\; \frac{b}{c} \; ,\; \frac{c}{a} \; ,\; \frac{b}{a} \; ,\; \frac{c}{b} \; ,\; \frac{a}{c}$

OPERADOR TRIGONOMÉTRICO.

Se llama así, al símbolo matemático que como tal, no tiene significado cuando actúa por si sólo, pero se transforma cuando lo acompaña un ángulo. Estos operadores operadores trigonométricos son 6:

Sen $\rightarrow$ Seno

Cos $\rightarrow$ Coseno

Tan ò tg $\rightarrow$ Tangente

Cot ó cotg $\rightarrow$ Cotangente

Sec $\rightarrow$ Secante

Csc ó Cosec $\rightarrow$ Cosecante

Razón Trigonométrica

Es aquella que se obtiene como consecuencia de fusionar un operador trigonométrico y un ángulo obteniéndose como resultado un número.

Ejemplos.

tg 45º = 1sen 30º = $\frac{1}{2}$

cos 60º = $\frac{1}{2}$ sec = 45º = $\sqrt{2}$

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EM EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Se les define como los cocientes que se obtienen al relacionar los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, a continuación veamos las definiciones de cada una de las dichas Razones Trigonométricas con respecto al ángulo agudo A.

sen A = $\frac{Cateto\; \; Opuesto}{Hipotenusa}=\frac{a}{c}$

cos A = $\frac{Cateto\; \; Adyacente}{Hipotenusa}=\frac{b}{c}$

tg A = $\frac{Cateto\; \; Opuesto}{Cateto\; \; Adyacente}=\frac{a}{b}$

cotg A = $\frac{Cateto\; \; Adyacente}{Cateto\; \; Opuesto}=\frac{b}{a}$

sec A = $\frac{Hipotenusa}{Cateto\; \; Adyacente}=\frac{c}{b}$

cosec A = $\frac{Hipotenusa}{Cateto\; \; Opuesto}=\frac{c}{a}$

Condiciones que hay que tener presente.

I) sen A y cos A; son menores que 1

II) tg A y cotg A. Toman cualquier valor

III) sec A y cosec A; son mayores que 1

IV) c > a y c > b

V) $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , (Teorema de Pitágoras)

VI) $\angle A+\angle B=90º$ ; (A y B ángulos agudos)

a) Si: sen $\theta$ = $\frac{3}{8}$ $\Rightarrow$ su inverso $\Rightarrow$ cosec $\theta$ = $\frac{8}{3}$

b) Si: tg $\theta$ = $\frac{5}{4}$ $\Rightarrow$ su inverso $\Rightarrow$ cotg $\theta$ = $\frac{4}{5}$

c) Si: cos $\theta$ = $\frac{7}{9}$ $\Rightarrow$ su inverso $\Rightarrow$ sec $\theta$ = $\frac{9}{7}$

Ejemplo sobre aplicación del criterio inverso:

Si: sen $\beta$ = $\frac{5}{2}$ $\Rightarrow$ su inverso $\Rightarrow$ cosec $\beta$ = $\frac{2}{5}$

Si el valor de sen $\beta$ = $\frac{5}{2}$ , lo llevamos a un triángulo rectángulo, lo que resulta es:

Según lo obtenido dicha razón resulta absurda ya que la hipotenusa jamás podrá ser menor que un cateto.

Observación: El valor de la razón trigonométrica es un número Adimensional (Sin dimensión), por tratarse de un cociente de magnitudes de la misma especie.

Ejemplo.

Como longitud.

sen $\alpha$ = $\frac{3\; m}{5\; m}$ = $\frac{3}{5}$

$\therefore$ sen $\alpha$ = 0,6

En Física.

sen $\alpha$ = $\frac{4\; km}{5\; km}$ = $\frac{4}{5}$

$\therefore$ sen $\alpha$ = 0,8

Problema.

Hallar las 6 razones trigonométricas del ángulo "A" de un triángulo rectángulo ACB, recto en "C", sabiendo que: a = 6; b = 8.

Resolución.

Hallamos el valor de "C" por medio del teorema de Pitágoras.

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Luego:

$c^{2}=6^{2}+8^{2}$

$c^{2}$ = 36 + 64

$c^{2}$ = 100

c = $\sqrt{100}$

c = 10

Ahora, hallamos las 6 razones trigonométricas, con respecto al ángulo "A"

sen A = $\frac{Cateto\; \; Opuesto}{Hipotenusa}=\frac{a}{c}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

cos A = $\frac{Cateto\; \; Adyacente}{Hipotenusa}=\frac{b}{c}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

tg A = $\frac{Cateto\; \; Opuesto}{Cateto\; \; Adyacente}=\frac{a}{b}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

cotg A = $\frac{Cateto\; \; Adyacente}{Cateto\; \; Opuesto}=\frac{b}{a}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

sec A = $\frac{Hipotenusa}{Cateto\; \; Adyacente}=\frac{c}{b}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$

cosec A = $\frac{Hipotenusa}{Cateto\; \; Opuesto}=\frac{c}{a}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$

Razones Trigonométricas Reciprocas

TEOREMA: El producto de dos razones trigonométricas es siempre igual a la unidad.

CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RESPECTO AL ÁNGULO AGUDO "A"

sen A = $\frac{a}{b}$

cos A = $\frac{c}{b}$

tg A = $\frac{a}{c}$

cotg A = $\frac{c}{a}$

sec A = $\frac{b}{c}$

cosec A = $\frac{b}{a}$

Efectuando el producto como se indica, obtenemos.

I) sen A x cosec A = $\frac{a}{b}\times \frac{b}{a}=1$

II) cos A x sec A = $\frac{c}{b}\times \frac{b}{c}=1$

III) tg A x cotg A = $\frac{a}{c}\times \frac{c}{a}=1$

En general: R.T. (Ángulo) x R.T. rec. (Ángulo) = 1

Donde:

R.T. = Razón Trigonométrica

R.T. rec. = Razón Trigonométrica reciproca

0º < (Ángulo) < 90º