NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

NÚMEROS PRIMOS

Los números que tan sólo son divisibles por si mismos y por la unidad, se llaman números primos.

Números Primos: Los matemáticos de la antigua Grecia llamaban números cuadrados a algunos números y números Rectangulares a otros.

Así:

Números Cuadrados.

Números Rectangulares.

Algunos números no se pueden representar en arreglos cuadrados o rectangulares. Lo que, siendo mayores que 1, no son cuadrados ni rectangulares, se llaman números primos Todo primo tiene exactamente dos factores: El mismo número y unidad.

Números Primos.

Los números cuadrados y rectangulares mayores que 1 se llaman Números Compues­tos.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI O PRIMOS RELATIVOS

¿Es primo el número 8? ¿Es primo el número 25?

La contestación correcta es que no son primos, porque 8 tiene como divisores a: 1, 2,4 y 8; mientras en 25 tiene como divisores a: 1, 5 y 25; pero los números 8 y 25 tienen una característica, y es que entre ellos sólo tienen, como divisor común a la UNIDAD.

Pues bien, los números que tan sólo tiene la UNIDAD como divisor común, se dice que son primos entre si.

¿Son primos entre si los números 8 y 12?

No, porque además de la UNIDAD tienen como divisor común el 2 y el 4, Veamos:

¿Son primos entre sí el 9 y el 20?

Si, porque tienen como divisor común a la UNIDAD, Veamos:

¿Son primos entre sí el 14 y el 15?

Sí, porque tienen como divisor común a la UNIDAD, Veamos:

NÚMEROS COMPUESTOS

El número 6, además de ser múltiplo de 6 y de 1. Es múltiplo de otros números, como Indican las divisiones siguientes:

Como se observa 6 no es primo, por lo tanto 6 es un Número Compuesto.

Se llama Número Compuesto, a todo número que tiene más de dos divisores. 

Nota: Los números que no son primos, son compuestos.

Ejemplos:

25 es un número compuesto porque no es primo.

14 es un número compuesto porque no es primo.

PROCEDIMIENTO PARA CONOCER SI UN NÚMERO ES PRIMO O NO:

Regla: Para conocer si un número es primo, se le divide sucesivamente por los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13 y los siguientes, hasta que el cociente llegue a ser igual o empiece a ser menor que el divisor, además el residuo tiene que ser diferente de cero.

Ejemplos:

1) El número 23 es número primo?

Resolución:

El número 23 lo dividimos sucesivamente por los números primos: 2, 3, 5, 7, 11,...etc.

En la última división se ha conseguido que el cociente (4) es menor que el divisor (5) y el residuo (3) es diferente de cero; por lo tanto 23 es un número primo. 

2) ¿El número 127 es número primo?

Resolución:

El número 127 lo dividimos sucesivamente por los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, etc.

En la última división se ha conseguido que el cociente y el divisor son iguales y el residuo es diferente de cero; por lo tanto 127 es un número primo.

Otra Forma de Averiguar si un Número dado es Primo:

Ejemplo: 

¿El número 109 es número primo?

Resolución:

1) Extraemos la raíz cuadrada del número dado, tomando solo la parte entera.

Así:

Sólo tomamos la parte entera o sea: el 10.

2) Dividimos el número dado entre todos los números Primos menores o ¡guales a 10 (En este caso, no tomamos 10 porque 10 no es un número primo)

Ahora efectuaremos las divisiones entre el número dado (109) y los números primos menores que 10, siendo estos los números: 7, 5, 3 y 2.

3) Si todas las divisiones efectuadas son Inexactas, el número dado es Primo. En este caso diremos que el número 109 es un Número Primo.

FACTORIZACIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS

1) Cuándo un número no es primo, puede factorizarse siempre en un producto proveniente de una serie de factores que son números primos.

2) Factorizar un número en sus factores primos, es hallar un producto de una serie de factores primos, que sea igual a dicho número.

3) El procedimiento que ordinariamente se emplea para factorizar un número en sus factores primos, es el siguiente:

Ejemplos:

1) Factorizar 252; en sus factores primos.

Resolución:

Luego: 252 es un número igual a la serie de factores primos:
2 x 2 x 3 x 3 x 7 = (Estos divisores son los factores primos del número dado)
$$252=2^{2}\times 3^{2}\times 7$$

Disposición Usual de la Operación:

$$252=2^{2}\times 3^{2}\times 7$$

2) Factorizar 408, en sus factores primos:

Resolución:

Luego:

408 es un producto igual a la serie de factores primos:

$$2 \times  2 \times 2 \times  3 \times  17 \, \, \,    \therefore \, \, \, 408=2^{3}\times 3\times 17$$

Disposición Usual de la Operación:

$$408=2^{3}\times 3\times 17$$

Nota: Cuando un número se divide entre 2, 3, 4, 5, 6,.....etc.; es lo mismo decir sacar mitad, tercia, cuarta, quinta, sexta. etc.

Los números de color rojo son los divisores o factores de 48.

Luego: $48 = 2 \times  2 \times 2 \times 2\times 3 = 2^{4}\times 3$

De Otra Manera Factorizar 48, en sus factores primos:

$$48 = 2 \times  2 \times 2 \times 2\times 3 = 2^{4}\times 3$$

HALLAR TODOS LOS DIVISORES O FACTORES DE UN NÚMERO

Para hallar todos los divisores o factores de un número, existe la siguiente regla:

a) Se factoriza el número dado en sus factores primos.
b) Se anota en una fila la unidad y las potencias sucesivas del primer factor primo.
c) Luego se multiplica cada una de las potencias sucesivas del segundo factor primo por todos los divisores anteriormente anotados.
d) A continuación se multiplica cada una de las potencias sucesivas del siguiente factor primo por todos los divisores anteriores anotados y así sucesivamente hasta que el último divisor sea igual al número propuesto.

Ejemplos:

1) Hallar todos los divisores de 24.

Resolución:

Paso a:

24 = 2 x 2 x 2 x 3
$24=2^{3}\times 3^{1}$
Primer factor primo el 2.
Segundo factor primo el 3.

Paso b:

$\left ( 2^{0},\, 2^{1},\, 2^{2},\, 2^{3} \right )\Rightarrow 1\, \, \, 2\, \, \, 4\, \, \, 8$

Paso c:

$\left ( 3^{1} \right )\times \left ( todo\, \,  b \right )\Rightarrow 3\, \, \, 6\, \, \, 12\, \, \, 24$

Luego, los divisores de 24 son: 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 y 24 ordenando dichos números, obtenemos: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

Respuesta: 24 tiene 8 divisores.

2) Hallar los divisores de 50.

Resolución:

Paso a:

Factorizamos el número 50, en sus factores primos:

50 = 2 x 5 x 5
$50=2^{1}\times 5^{2}$
Primer factor primo el 2.
Segundo factor primo el 5.

Paso b:

Se anota en una fila la unidad y las potencias sucesivas del primer factor primo.
$\left ( 2^{0} ,\, 2^{1}\right )\Rightarrow 1\, \, \, 2$

Paso c:

Luego, se multiplica cada una de las potencias sucesivas del segundo factor primo por todos los divisores anteriormente anotados.

$\left ( 5^{0} ,\, 5^{1},\, 5^{2}\right )\Rightarrow 1\, \, \, 5\, \, \, 25$

Efectuando la multiplicación, obtenemos:

Luego, los divisores de 50 son: 1 , 2 , 5 ,10 , 25 y 50.

Respuesta: 50 tiene 6 divisores.

3) Hallar los divisores de 54.

Resolución:

Paso a:

Factorizamos el número 54, en sus factores primos:

54 = 2 x 3 x 3 x 3
$54=2^{1}\times 3^{3}$
Primer factor primo el 2.
Segundo factor primo el 3.

Paso b:

Se anota en una fila la unidad y las poten­cias sucesivas del primer factor primo.
$\left ( 2^{0} ,\, 2^{1}\right )\Rightarrow 1\, \, \, 2$

Paso c:

Luego, se multiplica cada una de las poten­cias sucesivas del segundo factor primo por todos los divisores anteriormente anotados.
$\left ( 3^{0} ,\, 3^{1},\, 3^{2},\, 3^{3}\right )\Rightarrow 1\, \, \, 3\, \, \, 9\, \, \, 27$

Efectuando las multiplicaciones, obtenemos:

Luego; los divisores de 54 son: 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 , 27 y 54.
Respuesta: 50 tiene 8 divisores.

4) Hallar los divisores de 120.

Resolución:

Paso a:

Factorizamos el número 120, en sus factores primos:

120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5
$120=2^{3}\times 3^{1}\times 5^{1}$
Primer factor primo el 2.
Segundo factor primo el 3.
Tercer factor primo el 5.

Paso b:

Se anota en una fila la unidad y las potencias sucesivas del primer factor primo.
$\left ( 2^{0} ,\, 2^{1},\, 2^{2},\, 2^{3}\right )\Rightarrow 1\, \, \, 2\, \, \, 4\, \, \, 8$

Paso c:

Luego, se multiplica cada una de las poten­cias sucesivas del segundo factor primo por todos los divisores anteriormente anotados.
$\left ( 3^{0} ,\, 3^{1}\right )\Rightarrow 1\, \, \, 3$

Efectuando las multiplicaciones, obtenemos:

Paso d:

A continuación se multiplica cada una de las potencias sucesivas del siguiente factor primo por todos los divisores anteriores anotados y así sucesivamente hasta que el último divisor sea igual al número propuesto.

Luego: Los divisores de 120 son: 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120
Ordenando; divisores de 120 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 y 120.

Respuesta: 120 tiene 16 divisores.

NÚMERO TOTAL DE DIVISORES DE UN NÚMERO

Para hallar el total de divisores de un número, se aumenta en 1 a los exponentes de sus factores primos y se halla el producto de los exponentes así modificados.

Ejemplo: 

1) Hallar el número de divisores del número 60.

Resolución:

Factorizamos el número 60, en sus factores primos.

$60=2^{2}\times 3^{1}\times 5^{1}$
Los exponentes son: 2, 1, 1, aumentados en 1 serán: 3, 2, 2; el producto de éstos será: $3\times 2\times 2=12$

Luego: El número 60, tiene 12 divisores o factores.

Generalizando: Si un número "N" se factoriza en sus factores primos, quedaría representada así: $N=a^{x}\cdot \, b^{y}\, \cdot\,  c^{z}$

donde: a, b y c son los factores primos.
            x, y, z, son los exponentes de cada factor primo.

Luego: El número de divisores del número N, está dado por la siguiente fórmula:
Número de divisores = $\left ( x + 1 \right ) \cdot  \left ( y + 1 \right )\cdot  \left ( z + 1 \right ) $

Ejemplos:

1) Hallar el número de divisores del número 108.

Resolución:

Factorizamos el número 108, en sus factores primos:

$180=2^{2}\times 3^{3}$
Los exponentes son: 2 y 3 aumentados en 1 serán: 3 y 4; el producto de estos será: 3 x 4 = 12

Luego: El número 108, tiene 12 divisores.

2) Hallar el número de divisores del numero 600 

Resolución:

Factorizamos el número 600, en sus factores primos:

600 = $2^{3}\times 3^{1}\times 5^{2}$
Los exponentes son: 3 , 1 y 2 aumentados en 1 serán: 4 , 3 y 3; el producto de éstos será: 4 x 2 x 3 = 24

Luego: El número 600, tiene 24 divisores.

3) Hallar el número de divisores del numero 1 080

Resolución:

Factorizamos el número 1 080, en sus factores primos:

$1080=2^{3}\times 3^{3}\times 5^{1}$
Los exponentes son: 3 , 3 y 1 aumentados en 1 serán: 4 , 4 y 2; el producto de éstos será: 4 x 4 x 2 = 32

Luego: El número 1 080, tiene 32 divisores.