Las cuatro operaciones fundamentales del álgebra y la aritmética son la suma, la resta la multiplicación y la división.
SUMA.
La suma, o adición, de dos números a y b se representa por a + b. por ejemplo, 4 más 6, o bien 4 y 6, se escribe 4 + 6 = 10.
RESTA.
La resta, sustracción o
diferencia de un numero b de otro a se representa por a – b. por ejemplo, 8
menos 5, o bien de 5 a 8, se escribe 8 – 5 = 3.
La resta es un caso
particular de la suma. Esto es, la diferencia a – b es un numero x tal que x más
b proporciona el número a: x + b = a. por ejemplo 7 – 4 es un numero x tal que
sumado a 4 da 7, es decir, x + 4 = 7, de donde 7 – 4 =3.
MULTIPLICACIÓN.
El producto de dos números a y b es otro número c y se representa así: a x b = c. la operación de multiplicar se puede indicar mediante una cruz, un punto o un paréntesis. Por ejemplo, 7 x 5 = 7 . 5 = 7(5) = 35, en donde los números 7 y 5 son los factores y 35 el producto. Cuando se utilicen letras para representar números, se debe evitar la notación p x q, ya que el símbolo x se puede confundir con la letra que pudiera representar a otro número.
DIVISIÓN.
Cuando se divide un número
a entre, o por b, el cociente se representa así: a $\pm $ b, a:b o a/b, en donde a recibe el nombre de dividendo y b
el de divisor. La expresión a/b, también se denomina fracción, siendo a el numerador y b el denominador.
La división por cero
carece de sentido.
La división es un caso
particular de la multiplicación. Esto es, el cociente a/b es un numero x tal
que multiplicado por b da lugar al número a: bx = a. por ejemplo, 8/4 es un
número x tal que multiplicado por 4 da 8, es decir, 4x = 8, de donde 8/4 = 2.
EL CONJUNTO DE NÚMEROS REALES
Se establece como
resultado de un proceso gradual de aplicación de otros conjuntos, que vamos a
describir a continuación:
1. Números
Reales. 1, 2, 3, 4, 5, 6………, (los puntos suspensivos
significan “y así sucesivamente”) que se utiliza para contar y que se denominan
también números enteros positivos. la suma o la multiplicación de los números
naturales es siempre otro número natural.
2. Números
racionales positivos o fracciones positivas. son los cocientes
de los números enteros positivos. por ejemplo 3/5, 7/4, 121/17. el conjunto de
los números naturales está incluido en el de los números racionales positivos
estos es, el número racional 5/1 es el número natural 5.
3. Números
irracionales positivos. son números no racionales como. por
ejemplo, $\sqrt{2}$, $\pi$.
4. Cero.
se representa por 0 y se introduce para ampliar el sistema numérico, de forma
que se puedan realizar operaciones tales como 6 -6, 10 – 10, etc. el cero tiene
la propiedad de que cualquier número multiplicado por él da cero. cero dividido
por cualquier número distinto de cero ($\neq 0$) es igual a cero.
5. Números
negativos. son los enteros, racionales e irracionales antepuestos el signo
menos de la resta como, por ejemplo, -3, -2/3, $\sqrt{2}$. Se introducen para ampliar el sistema numérico de forma que
se pueda realizar operaciones tales como 2, -8, $\pi -3\pi$, $2-2\sqrt{2}$, etc.
Cuando
a un número no se le antepone signo alguno, se sobre entiende que es positivo. Así
pues, 6 quiere decir +6,
El conjunto de números Reales está formado por los números racionales e
irracionales, tanto positivos como negativos y el número cero.
Nota. La palabra real se emplea para distinguir estos números de
otros que se caracterizan para contener el término $\sqrt{-1}$ y que reciben el nombre
de imaginarios. Aunque estos últimos aparecen con suma frecuencia en las
matemáticas y ciencias, en general, mientras no se diga lo contrario,
trataremos con números reales.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS REALES
Los números reales se pueden representar mediante los infinitos puntos de una recta. Para ello, se elige un punto de la misma que represente al cero y que se toma como origen. Los enteros positivos +1, +2, +3,…, se asocian con los puntos de la recta situados a distancias 1, 2, 3, …, unidades, respectivamente, a la derecha del origen, mientras que los enteros negativos -1, -2, -3,…., se asocian con los puntos de la recta situados a 1, 2, 3, …, unidades, respectivamente, a la izquierda del mismo.
El número racional ½ se representa, en esta escala, por un punto
P equidistante de los correspondientes al 0 y +1. El número negativo -3/2 o
-1½, se representa por un punto R situado una unidad y media a la izquierda del
origen.
Se puede decir, pues, que a cada número real le corresponde un
solo punto de la recta y recíprocamente, que a cada punto de la recta le
corresponde un solo número real.
LA POSICIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Sobre una recta establece un orden en el conjunto de dichos
números. Si un punto A esta situado
a la derecha de otro B de la recta
el número correspondiente a, A es
mayor que el correspondiente a B, o
bien, el número correspondiente a B
es menor que el correspondiente a A.
las expresiones “mayor que” y “menor que” se representan por los signos > y
<, respectivamente y son signos de “desigualdad”.
Por ejemplo, como 7 está a la derecha de 3, 7 es mayor que 3, es
decir 7>3; también se deduce que 3 es menor que 7, y se escribe 3<7. Análogamente,
como -8 está a la izquierda -6, -8 es más pequeño que -6, es decir, -8<-6;
también se deduce en este caso que -6>-8.
EL VALOR ABSOLUTO
De un número es el correspondiente al número prescindiendo del
signo que le afecte. El valor absoluto se representa encerrado el número entre
dos barras verticales.
Por ejemplo, │-7│ = 7, │+5│ = 5, │-3/4│= 3/4.
REGLA DE LOS SIGNOS
1. Para
sumar dos números del mismo se suman sus valores absolutos y se antepone al
resultado dicho signo común.
Por ejemplo, 4 + 5 = 9, (-4) + (-5) = -9.
2. Para
sumar dos números de signos diferentes se efectúa la diferencia entre sus
valores absolutos y se antepone al resultado el signo del sumando de mayor de
mayor valor absoluto.
Ejemplos. 17 + (-6) = 11, (-7)
+ 3 = -4, (-19) + 12 = -7
3. Para
restar un número b de otro a, se cambia el signo de b y se le suma a.
Ejemplos.
11 – (6) = 11 + (-6) = 5, (-8)-(3) = -8 + (-3) = -11, 3 - (-9) = 3 + 9 = 12.
4. Para multiplicar (o dividir) dos números del mismo signo se multiplican (o dividen) sus valores absolutos y se antepone al resultado el signo mas (o no se pone signo).
Ejemplos.
(7)(5) = 35, (-8)(-9) = 72, $\frac{-8}{-2}=4 $
5. Para multiplicar (o dividir) dos números de signos diferentes, se multiplican (o dividen) sus valores absolutos y se antepone al resultado el signo menos.
Ejemplos.
OPERACIONES CON FRACCIONES
1. El valor de una fracción no se altera si se multiplican numerador y denominador por un mismo número distinto de cero.
Ejemplos.
2. Si se cambia el signo del numerador, o el del denominador, de una fracción, ésta cambia de signo.
Ejemplo.
3. La suma de dos fracciones del mismo denominador es igual a una fracción que tiene por numerador la suma de los numeradores y por denominador dicho denominador común.
Ejemplo.
4. La suma de dos fracciones de distinto denominador se efectúa como en 3 cada vez que se haya transformado las fracciones a un denominador común.
Ejemplo.
5. El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores y el denominador igual al producto de los denominadores.
Ejemplos
6. El reciproco de una fracción es la fracción cuyos numerador y denominador son, respectivamente, el denominador y numerador de la fracción dada. así pues, el reciproco de 3 (es decir 3/1) es 1/3. análogamente los recíprocos de 5/8 y -4/3 son 8/5 y -3/4, respectivamente.
7. Para
dividir dos fracciones se multiplica la primera por el reciproco de la segunda.
Ejemplos.
El resultado se puede expresar como sigue:
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