OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS

Las cuatro operaciones fundamentales del álgebra y la aritmética son la suma, la resta la multiplicación y la división.

SUMA.

La suma, o adición, de dos números a y b se representa por a + b. por ejemplo, 4 más 6, o bien 4 y 6, se escribe 4 + 6 = 10.

RESTA.

La resta, sustracción o diferencia de un numero b de otro a se representa por a – b. por ejemplo, 8 menos 5, o bien de 5 a 8, se escribe 8 – 5 = 3.

La resta es un caso particular de la suma. Esto es, la diferencia a – b es un numero x tal que x más b proporciona el número a: x + b = a. por ejemplo 7 – 4 es un numero x tal que sumado a 4 da 7, es decir, x + 4 = 7, de donde 7 – 4 =3.

MULTIPLICACIÓN.

El producto de dos números a y b es otro número c y se representa así: a x b = c. la operación de multiplicar se puede indicar mediante una cruz, un punto o un paréntesis. Por ejemplo, 7 x 5 = 7 . 5 = 7(5) = 35, en donde los números 7 y 5 son los factores y 35 el producto. Cuando se utilicen letras para representar números, se debe evitar la notación p x q, ya que el símbolo x se puede confundir con la letra que pudiera representar a otro número.

DIVISIÓN.

Cuando se divide un número a entre, o por b, el cociente se representa así: a $\pm $ b, a:b o a/b, en donde a recibe el nombre de dividendo  y b el de divisor. La expresión a/b, también se denomina fracción, siendo a el numerador y b el denominador.

La división por cero carece de sentido.

La división es un caso particular de la multiplicación. Esto es, el cociente a/b es un numero x tal que multiplicado por b da lugar al número a: bx = a. por ejemplo, 8/4 es un número x tal que multiplicado por 4 da 8, es decir, 4x = 8, de donde 8/4 = 2.

EL CONJUNTO DE NÚMEROS REALES

Se establece como resultado de un proceso gradual de aplicación de otros conjuntos, que vamos a describir a continuación:

1. Números Reales. 1, 2, 3, 4, 5, 6………, (los puntos suspensivos significan “y así sucesivamente”) que se utiliza para contar y que se denominan también números enteros positivos. la suma o la multiplicación de los números naturales es siempre otro número natural.

2. Números racionales positivos o fracciones positivas. son los cocientes de los números enteros positivos. por ejemplo 3/5, 7/4, 121/17. el conjunto de los números naturales está incluido en el de los números racionales positivos estos es, el número racional 5/1 es el número natural 5.

3. Números irracionales positivos. son números no racionales como. por ejemplo, $\sqrt{2}$, $\pi$.

4. Cero. se representa por 0 y se introduce para ampliar el sistema numérico, de forma que se puedan realizar operaciones tales como 6 -6, 10 – 10, etc. el cero tiene la propiedad de que cualquier número multiplicado por él da cero. cero dividido por cualquier número distinto de cero ($\neq 0$) es igual a cero.

5. Números negativos. son los enteros, racionales e irracionales antepuestos el signo menos de la resta como, por ejemplo, -3, -2/3, $\sqrt{2}$. Se introducen para ampliar el sistema numérico de forma que se pueda realizar operaciones tales como 2, -8, $\pi -3\pi$, $2-2\sqrt{2}$, etc.

Cuando a un número no se le antepone signo alguno, se sobre entiende que es positivo. Así pues, 6 quiere decir +6, . El cero se considera como un número racional carente de signo.

El conjunto de números Reales está formado por los números racionales e irracionales, tanto positivos como negativos y el número cero.

Nota. La palabra real se emplea para distinguir estos números de otros que se caracterizan para contener el término $\sqrt{-1}$ y que reciben el nombre de imaginarios. Aunque estos últimos aparecen con suma frecuencia en las matemáticas y ciencias, en general, mientras no se diga lo contrario, trataremos con números reales.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS REALES

Los números reales se pueden representar mediante los infinitos puntos de una recta. Para ello, se elige un punto de la misma que represente al cero y que se toma como origen. Los enteros positivos +1, +2, +3,…, se asocian con los puntos de la recta situados a distancias 1, 2, 3, …, unidades, respectivamente, a la derecha del origen, mientras que los enteros negativos -1, -2, -3,…., se asocian con los puntos de la recta situados a 1, 2, 3, …, unidades, respectivamente, a la izquierda del mismo.

El número racional ½ se representa, en esta escala, por un punto P equidistante de los correspondientes al 0 y +1. El número negativo -3/2 o -1½, se representa por un punto R situado una unidad y media a la izquierda del origen.

Se puede decir, pues, que a cada número real le corresponde un solo punto de la recta y recíprocamente, que a cada punto de la recta le corresponde un solo número real.

LA POSICIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Sobre una recta establece un orden en el conjunto de dichos números. Si un punto A esta situado a la derecha de otro B de la recta el número correspondiente a, A es mayor que el correspondiente a B, o bien, el número correspondiente a B es menor que el correspondiente a A. las expresiones “mayor que” y “menor que” se representan por los signos > y <, respectivamente y son signos de “desigualdad”.

Por ejemplo, como 7 está a la derecha de 3, 7 es mayor que 3, es decir 7>3; también se deduce que 3 es menor que 7, y se escribe 3<7. Análogamente, como -8 está a la izquierda -6, -8 es más pequeño que -6, es decir, -8<-6; también se deduce en este caso que -6>-8.

EL VALOR ABSOLUTO

De un número es el correspondiente al número prescindiendo del signo que le afecte. El valor absoluto se representa encerrado el número entre dos barras verticales.

Por ejemplo, │-7│ = 7, │+5│ = 5, │-3/4│= 3/4.

REGLA DE LOS SIGNOS

1. Para sumar dos números del mismo se suman sus valores absolutos y se antepone al resultado dicho signo común. 

Por ejemplo, 4 + 5 = 9, (-4) + (-5) = -9.

2. Para sumar dos números de signos diferentes se efectúa la diferencia entre sus valores absolutos y se antepone al resultado el signo del sumando de mayor de mayor valor absoluto.

Ejemplos. 17 + (-6) = 11,        (-7) + 3 = -4,       (-19) + 12 = -7

3. Para restar un número b de otro a, se cambia el signo de b y se le suma a.

Ejemplos.  

11 – (6) = 11 + (-6) = 5, (-8)-(3) = -8 + (-3) = -11,   3 - (-9) = 3 + 9 = 12.

4. Para multiplicar (o dividir) dos números del mismo signo se multiplican (o dividen) sus valores absolutos y se antepone al resultado el signo mas (o no se pone signo).

Ejemplos. 

(7)(5) = 35,       (-8)(-9) = 72,    $\frac{-8}{-2}=4 $         

5. Para multiplicar (o dividir) dos números de signos diferentes, se multiplican (o dividen) sus valores absolutos y se antepone al resultado el signo menos.

Ejemplos. 

(-5)(4) = -20,    (6)(-8) = -48,    $\frac{-16}{4}=-4 $        

OPERACIONES CON FRACCIONES

1. El valor de una fracción no se altera si se multiplican numerador y denominador por un mismo número distinto de cero.

Ejemplos.

2. Si se cambia el signo del numerador, o el del denominador, de una fracción, ésta cambia de signo.

Ejemplo.

3. La suma de dos fracciones del mismo denominador es igual a una fracción que tiene por numerador la suma de los numeradores y por denominador dicho denominador común.

Ejemplo.

4. La suma de dos fracciones de distinto denominador se efectúa como en 3 cada vez que se haya transformado las fracciones a un denominador común.

Ejemplo.

5. El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores y el denominador igual al producto de los denominadores.

Ejemplos

6. El reciproco de una fracción es la fracción cuyos numerador y denominador son, respectivamente, el denominador y numerador de la fracción dada. así pues, el reciproco de 3 (es decir 3/1) es 1/3. análogamente los recíprocos de 5/8 y -4/3 son 8/5 y -3/4, respectivamente.    

7. Para dividir dos fracciones se multiplica la primera por el reciproco de la segunda.

Ejemplos.

El resultado se puede expresar como sigue: