ANÁLISIS COMBINATORIO

INTRODUCCIÓN AL BINOMIO DE NEWTON 

1) FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL

El factorial de un número natural "n" se define como el producto que se obtiene de multiplicar todos los números naturales consecutivos desde 1 hasta n.

Notación.

Se lee factorial de "n"

Definición:

Ejemplos.

6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 

PROPIEDADES.

1)

2)

3)

4)

2) COMBINACIONES

Se denominan combinaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k" al total de grupos de "k" elementos cada uno, que pueden formarse con los "n" elementos, de tal manera que cada grupo se diferencia por lo menos un elemento.

Su representación:

De donde:

n= número de elementos

k=número de elementos de cada grupo

n es índice superior

k es índice inferior

a) COMBINATORIA DE REPETICIÓN

Ejemplo.

¿Cuántos productos diferentes, cada uno de tres factores, pueden obtener con los números: 2, 5, 7 y 9?

Resolución.

Según el enunciado, nada se opone a que en cada grupo haya 2 o 3 factores iguales; luego los diferentes productos serán las combinaciones con repetición de 4 elementos tomados de 3 en 3.

Productos diferentes

b) PROPIEDAD DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS

1) COMBINACIONES COMPLEMENTARIAS

2) SUMA DE COMBINACIONES

3) DEGRADACIÓN DE ÍNDICES

Ambos índices

Sólo índice superior

Sólo  índice inferior

RESULTADOS IMPORTANTES.

1)

2)

3)

Además:

Si "n" es par

VARIACIONES

Se denominan variaciones o coordinaciones en "n"  elementos tomados de "k" en "k" al total de grupos de "k" elementos cada uno que pueden formarse con los "n" elementos, de tal manera que cada grupo se diferencie del otro en por lo menos un elemento, o por el orden en el cuál están dispuestos sus elementos.
Por ejemplo, si tenemos los elementos a, b y c. Las variaciones de esos tres elementos de 2 en 2 será:
1) considerando la diferencia de por lo menos un elemento: ab, bc, ac tres grupos.
2) Considerando el orden: ba, ca, cb tres grupos.
O sea las variaciones de tres elementos en grupos de dos es 6, es decir, número total de elementos de cada es 3. Número total de elementos de cada grupo es 2.

Luego: Número de variaciones de 3 en 2 es igual a 6.

En resumen:

En general:

VARIACIONES CON REPETICIÓN

Son aquellas cuyos elementos pueden repetirse una o varias veces, se representa por:

PERMUTACIONES

Se llaman permutaciones de "n" elementos al total de grupos diferentes que se pueden formar con los "n" elementos, de manera que cada grupo tenga los "n" elementos y sólo difiera en el orden de sus elementos.

Notación.

PERMUTACIÓN CIRCULAR

Son agrupaciones donde no hay primer ni último término por hallarse todos en una línea cerrada.

PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN

El número de permutaciones distintas que se pueden formar con "n" objetos, entre los cuales hay "a" iguales entre sí,iguales entre sí .. y finalmenteiguales entre sí, es:

DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON PARA EXPONENTE ENTERO Y POSITIVO.

Dado el polinomio:

Ejemplo.

PROPIEDADES

1) Sea (imagen); su desarrollo es un polinomio completo homogéneo, cuyo número términos es "n + 1".

2) Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales.

3) Término general.

3.1) Contando de izquierda a derecha en el desarrollo de

3.2) Contando de derecha a izquierda.

4) Dado:

 En consecuencia:

Observaciones:

En ambos ejemplos hay un número limitado de casos.

5) Término central

En el desarrollo de:

Si "n" es par tendrá único término central; luego el lugar que ocupa es .

Si "n" es impar tendrá dos términos centrales.

Luego, el lugar que ocupa es:

Coeficiente binomial:

Notación.

Definición

Ejemplo.

Observación.

Únicamente en el caso que

TRIÁNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA

Nos sirve para obtener los coeficientes del desarrollo de un binomio dado para exponente natural.

PROBABILIDADES

1) NOCIÓN

La probabilidad estudia los fenómenos o experimentos puramente "aleatorios" o de libres determinación.
En el estudio de probabilidades interesa decir las leyes del azar y los resultados que estos determinan.

2) CONCEPTOS BÁSICOS

La base de la teoría de probabilidades es el concepto de suceso o experimento aleatorio; relacionamos este suceso con la relación de cierto experimento.

A) EXPERIMENTO ALEATORIO:

Es aquel que repetido muchas veces da resultados distintos que no se pueden preveer porque dependen del azar.

Ejemplos.

B) ESPACIO MUESTRAL:

Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

C) EVENTO O SUCESO.

Un evento o suceso es cualquier subconjunto de un espacio muestral; se denotan con las letras mayúsculas del alfabeto.
Suceso imposible. Si el evento A resulta ser un conjunto vacío, entonces es un evento imposible.
Suceso seguro. Si el evento A es igual al espacio muestral, entonces el evento es seguro.

Ejemplo.

Al lanzar un dado se observan los siguientes eventos:

A: De obtener un número par.

B: De obtener un número impar.

C: De obtener un número mayor que 6.

D: De obtener un número mayor que 0.

Resolución.

A = {2, 4, 6}

=> A es un evento posible.

B = {1, 3, 5} 

=> B es un evento posible.

C = {7, 8, 9}

=> C es un evento imposible.

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

=> D es un evento seguro.

D) OPERACIONES ENTRE SUCESOS.

D) SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:

Dados los sucesos A y B se dice que ellos son mutuamente excluyentes así y sólo sí:

Ejemplo.

De los postulantes a una universidad cierto día se tienen los siguientes sucesos:

A : Se han inscrito al menos 20 postulante.
B : Se inscribieron exactamente 22 postulantes.
C : Se han inscrito más de 16 postulantes.

Tenemos:

A = {1; 2; 3;....;19}
B = {22}
C = {17; 19; 19;...}

Entonces:

A y B Son sucesos mutuamente excluyentes

A y C Son sucesos no excluyentes

B y C Son sucesos no excluyentes

E) SUCESOS INDEPENDIENTES.

Dados dos sucesos A y B se dice que ellos son independientes si la concurrencia de A no afecta el hecho de que ocurra simultáneamente a B.

CÁLCULO DE ALGUNOS ESPACIOS MUESTRALES

1. Experimento: Arrojar uno o más dados.

2. Experimento: Arrojar una o dos monedas.

3. Experimento: Arrojar "m" dados "w" monedas.

Espacio muestral

4. Experimento: Extracción al azar de una urna con fichas numeradas de 1 hasta m, inclusive, si la extracción es de uno o más fichas a la vez:

5. Experimento: Extracción al azar de una urna con fichas numeradas del 1 hasta m, inclusive se extrae una tras otra sin reposición.

6. Muchos espacios muestrales  se pueden determinar fácilmente por el "Diagrama del árbol" cada rama representa una posibilidad.

a. Experimento: Carmen se encuentra embarazada y va a tener trillizos. Determinar el evento que a sus dos únicos hijos varones se llame Marcelo y Alejandro.

Determinación del espacio muestral para el sexo de los trillizos.

b. Experimento: Un saco de 3 boas rojas, 4 blancas y 5 azules, todas del mismo tamaño y material.  Se desea hacer extracciones de tres bolas por una, sin reposición. Determinar los eventos de tener la primera roja y las siguientes azules y blancas.

7. Experimento: Se arrojan al lazar dos dados normales. Determine el espacio muestral, además el evento que el valor se sus caras superiores sumen 8.

F) DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

Probabilidad de un suceso (definición clásica) 

Si A es un suceso de un espacio entrada entonces la probabilidad poresta dada por:

También podemos decir:

"Si un experimento tiene "n" resultados posibles equiprobables" y si k de estos resultados son favorables.

Entonces la probabilidad "P" es. De esto se deduce que en cualquier suceso "A" que conste de k resultados tenemos:

O también:

Ejemplo.

En una oficina hay 60 empleados, de los cuales 20 son solteros que no son universitarios; además de los universitarios 15 están solteros. Si se selecciona un empleado al azar, ¿Cuál es la probabilidad que sea soltero?

Resolución.

• 60 empleados son el total de resultado equiprobables.
• El total de solteros son el número de resultados favorables A.   

 Luego.

Total de resultados: 35

PROPIEDADES.

1) Si A es un suceso en , entonces:

• La probabilidad será 1 cuando el suceso es seguro:

• 

  
  

2) Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes: 

EN GENERAL:

Sies una serie de sucesos mutuamente excluyente, entonces:

h) PROBABILIDAD CONDICIONAL

Es la probabilidad de ocurrencia B que ya ocurrió A, y se denota por:

• Para eventos no independientes se puede usar:
  

  
• Si A y B son sucesos independientes:
  

  

Aplicación del enunciado de multiplicación:

¿Qué relación existe entre la posibilidad y la probabilidad?

Supongamos que la posibilidad de un evento A que ocurra es de 3 contra 7; entonces se un total de 10 casos, el número de posibilidades que ocurra el evento es 3; por lo tanto, la probabilidad de A es 0,3.

Ejemplo.

Posibilidad del evento A .....probabilidad de A:

Probabilidad de A .....Probabilidad del evento A: 

I) PROBABILIDADES GEOMÉTRICAS: 

1) PROBABILIDAD LINEAL (L)

Supongamos que el segmento "l" es parte de un segmento L. Sobre el segmento "L" se ha marcado un punto al azar. Admitiendo que la probabilidad que un punto caiga en el segmento "l" es proporciona a la longitud de este segmento, y no depende de su posición con respecto al segmento L, la probabilidad de incidencia del punto sobre el segmento "l" se determina por la igualdad:

2) PROBABILIDAD SUPERFICIAL (S)

Si la figura plana (m) es parte de una figura plana M, sobre la figura M se ha marcado un punto al azar. Suponiendo que la probabilidad que un punto caiga en la figura (m) es proporcional a la superficie de esta figura y no depende ni de su ubicación respecto a M, ni de la forma de (m), por lo tanto se calcula:

3) PROBABILIDAD VOLUMÉTRICA (V)

Análogamente se determina la probabilidad que un punto de caída en la figura espacial (r) forma parte de la figura (V):

PRODUCTORÍA

1) USO DEL OPERADOR 

Notación

2) LECTURA

Productoría de los factores cuyo término genérico es de la forma pi, donde el primer término es Pr y el último término es Py.

Donde:

3) PRODUCTORIA Y FACTORIAL

Calculemos:

La representación n! se lee factorial del número "n" donde "n" es un número entero positivo.

4) La FUNCIÓN FACTORIAL

Definición: Función factoriales la aplicación:

Definido por:

El símbolo característico de la función es !, en lugar de f se escribe n! para indicarde este modo; lo anterior se traduce en :

La expresión "n" se lee "factorial de n", la función factorial es no inyectiva, pues

Desarrollo: n!

1!=1
2!=1x2=2
3!=1x2x3=6
4!=1x2x3x4=24
5!=1x2x3x4x5=120
n!=1x2x3....n=n!

5) FACTORIALES REPRESENTADOS COMO UN ÁRBOL PERFECTO.

Recordamos que los números triangulares o pitagóricos son:

Observe que 1!; 5!; 9!; 13! tienen cada uno 1, 2, 6, 10,...... cifras para su representación, entonces.

6) FÓRMULA DE STIRLING

Los factoriales de números mayores pueden calcularse aproximadamente gracias a la fórmula de James Stirling.

El error absoluto de la fórmula crece conforme los factoriales van haciéndose mayores, pero el porcentaje de error es en cambio cada vez menor, tiene límite cero.

7) SEMIFACTORIAL, COFACTORIAL O CUASIFACTORIAL

Sea "x" un número entero positivo, se define al cuasifactorial o semifactorial de 

7.1) SI "x" ES PAR:

2!!=2
4!!=2.4
6!!=2.4.6
8!!=2.4.6.8
40!!=2.4.6......40
(2n)!!=2.4.6.......(2n)

X!!=2.4.6....(x-2).x

7.2) SI "x" ES IMPAR:

1!!=1
3!!=1.3
5!!=1.3.5
7!!=1.3.5.7
37!!=1.3.5.....37
(2n-1)!!=1.3.5....(2n-1)

x!!1.3.5....(x-2)

8) RELACIÓN ENTRE COFACTORIAL Y FACTORIAL

Ejemplo.

40!!=2.4.6.8....36.38.40
40!!=(2.1)(2.2)(2.3).....(2.18)(2.19)(2.20)

Nótese que los números encerrados al multiplicarse resultan factorial de 20, multiplicado por 2 elevado a la 20.

En general

39!!=1.3.5.7.....37.39
Completamos con factores pares hasta 40, para no alterar dividimos por los mismos factores.

Calculamos 39!! por defecto
39!!=1.3.5.7....35.37.39
Completamos por factores pares hasta 38 y dividimos por los mismos.

En general.