RECTAS PARALELAS

Las rectas, rayos, segmentos o combinaciones de ellos, no siempre se van a cortar o no se intersecan llamadas rectas paralelas. Veamos en las siguientes figuras las diferentes formas en que podemos tener un conjunto de rectas que no se cortan.

En las figuras anteriores las rectas $l_{1}$ y $l_{2}$ están en el plano P (coplanares). Estas pueden intersecarse en un punto o no intersecarse. En este caso, decimos que las dos rectas son paralelas.

Dos rectas $l_{1}$ y $l_{2}$ son paralelas, si y sólo si son coplanares y si la distancia de un punto de $l_{1}$ a $l_{2}$ es la misma que la distancia de un punto de $l_{2}$ a $l_{1}$.

Para indicar que las rectas $l_{1}$ y $l_{2}$ son paralelas, las simbolizamos así: $l_{1}\parallel l_{2}$.

Cualesquiera dos segmentos, rayos, semirrectas o combinación de ellos son paralelos si y sólo si las rectas de las cuales ellos son subconjuntos son paralelas.

PROPIEDADES DEL PARALELISMO

• Por un punto exterior a una recta, puede trazarse una y sólo una recta paralela a la recta dada.

• Si $l_{1}\parallel l_{1}$ (Propiedad Reflexiva).
• Si $l_{1}\parallel l_{2}$, entonces $l_{2}\parallel l_{1}$ (Pro Simétrica).
• Si $l_{1}\parallel l_{2}$ y $l_{2}\parallel l_{3}$ entonces $l_{1}\parallel l_{3}$ (Pro Transitiva).  

• Dos rectas son paralelas si y sólo si son perpendiculares a una misma recta.

Note que la cuarta propiedad, no se aplica a la perpendicularidad ya que si $l_{1}\perp l_{3}$ y $l_{1}\perp l_{3}$ entonces $l_{1}\parallel l_{2}$

Una recta que interseca a dos rectas dadas, a menudo nos ayuda a decidir si las dos rectas son paralelas o no; según la medida se los ángulos que forman. La recta intersecante se llama transversal. 

Una transversal o secante es una recta que interseca a dos rectas coplanares en dos puntos distintos.

En la figura, m y n son rectas coplanares y son cortadas por una transversal t en dos puntos distintos, P y Q. Aunque f interseca tanto a m como a n, la intersección en un punto, S. Así según la definición, f no es su transversal.

Las transversales y las rectas que ellas intersecan forman varios conjuntos de ángulos, ya que ciertas parejas de éstos son de especial importancia en nuestra investigación de las propiedades geométricas. Se establece las definiciones siguientes:

Ángulos internos: Son los ángulos que están entre las dos rectas (1, 2, 3, 4). 

Ángulos externos: Son los ángulos que están afuera de las dos rectas (5, 6, 7, 8).

Ángulos alternos internos: Son los ángulos no adyacentes, entre las dos rectas y sobre los lados opuestos de la transversal (1 y 3, 2 y 4).

Ángulos alternos externos: Son los ángulos no adyacentes, afuera de las dos rectas y sobre los lados opuestos de la transversal (6 y 7, 5 y 8).

Ángulos correspondientes: Son ángulos que se encuentran en un mismo lado de la transversal y el mismo lado de las rectas (3 y 8, 4 y 7, 2 y 6, 1 y 5).

Ángulos internos a un mismo lado: Son ángulos que se encuentran entre las rectas y del mismo lado de la transversal (1 y 4, 2 y 3).

Ángulos externos a un mismo lado: Son ángulos que se encuentran afuera de las rectas y del mismo lado de la transversal (5 y7, 6 y 8).

Observe que las rectas cortadas por la transversal pueden ser paralelas o no. Luego, los ángulos formados por dos rectas cualesquiera y una transversal pueden estar entre rectas paralelas o no.

PROPIEDADES:

Si dos rectas son cortadas por una transversal, entonces:

1. Si dos ángulos alternos internos son congruentes, entonces los otros dos ángulos alternos internos también son congruentes entre sí.
2. Si dos ángulos alternos internos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
3. Si dos ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
4. Si dos ángulos alternos externos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
5. Si dos ángulos externos a un mismo lado son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.
6. Si dos ángulos internos a un mismo lado son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

Si dos rectas son cortadas por una transversal, entonces:

1. Las parejas de ángulos alternos - internos son congruentes.
2. Las parejas de ángulos alternos - externos son congruentes.
3. Las parejas de ángulos correspondientes son congruentes.
4. Las parejas de ángulos internos a un mismo lado son suplementarios.
5. Las parejas de ángulos externos a un mismo lado son suplementarios.

Muy importante: Cuando se le pida que verifique o que resuelva un problema y se le da un gráfico aceptable lo que se dice aunque la figura no le parezca. También tener presente los Datos que se dan. 

EJEMPLO

Dada la siguiente figura, con $\overrightarrow{GA}$ opuesto a $\overrightarrow{GE}$ y $\overrightarrow{GB}\perp \overrightarrow{GC}$, verifique que $\angle AGB$ es un complemento del $\angle EGC$.

Verificación: Verificar un problema de esta tipo, significa dar una pequeña demostración (de una manera informal) utilizando los datos dados en el problema, los conceptos y y propiedades estudiados.

Datos: $\overrightarrow{GA}$ opuestos a $\overrightarrow{GE}$ y $\overrightarrow{GB}\perp \overrightarrow{GC}$
Por verificar que: $\angle AGB$ en un complemento del $\angle EGC$
$\overrightarrow{GA}$ es opuesto a $\overrightarrow{GE}$ 

$\angle AGB$ es un suplemento del $\angle BGE$        (por definición de suplemento) 
$m\, \angle AGB\, +\, \angle BGE$ = 180º                    (por definición de suplemento)
$\overrightarrow{GB}\perp \overrightarrow{GC}$                                            (por dato)
$m\, \angle BGC$ = 90º                                  (por definición de perpendicularidad y ángulo recto)   
$m\, \angle BGE=m\, \angle EGC$ + 90º            (por propiedad (C está en el interior del $\angle BGE$))
$m\, \angle AGB+\angle EGC$ + 90º = 180º            (sustituyendo ($m\, \angle BGE =m\, \angle EGC$ + 90º)) 
$m\, \angle AGB+\angle EGC$ = 90º                    (simplificando)

De lo anterior sabemos que si la suma de las medidas de los ángulos es 90º dichos ángulos son complementarios.

EJEMPLO:

Dada la siguiente figura, con $\angle 2$ y $\angle 3$ suplementarios. Verificar que $\angle 1\cong \angle 4$

Verificación: 

Dato: $\angle 2$ y $\angle 3$ son suplementarios
Por verificar: $\angle 1\cong \angle 4$

$\angle 2$ y $\angle 3$ son suplementarios                        (por dato)
$\angle 2$ y $\angle 3$ son ángulos internos a un mismo lado    (por definición) 
Si $\angle 2$ y $\angle 3$ son suplementarios, entonces $l_{1}$ y $l_{2}$ son paralelas    (por propiedad) 
$\angle 1$ y $\angle 4$ son correspondientes y están entre paralelas    (por definición) 
luego $\angle 1\cong \angle 4$