ECUACIONES Y SUS TÉRMINOS

Para dar conceptos claros y precisos referente a ecuaciones, consideremos los siguientes términos: 

a) IGUALDAD. (= ; signo de igualdad), son dos expresiones aritméticas o algebraicas, que gozan del mismo valor.

Por ejemplo:

Una decena = 10 unidades

8 + 4 = 15 - 3

6x = 30

b) IDENTIDAD. ($\equiv$ ; signo de identidad), es una igualdad por si misma evidente.

Por ejemplo:

6 $\equiv$ 6

5x $\equiv$ 5x

y + 7 $\equiv$ y + 7

c) ECUACIÓN. Es una igualdad de expresiones, de las cuales una encierra cantidades desconocidas (incógnitas) a las cuales corresponde unos valores condicionales pero determinados.

Por ejemplo:

3x = 15

Las cantidades desconocidas están expresadas por medio de letras, generalmente las últimas letras del abecedario cono son la x, y, z, etc.

En la ecuación 3x = 15: el valor de x es igual a 5; porque 3 veces 5 da 15.

O sea: 3x = 15  $\Rightarrow$  x = $\frac{15}{3}$ =5  

Verificación:

3x = 15

3(5) = 15

15 = 15

MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN

En cada ecuación se distinguen dos partes llamadas miembros de la ecuación, que se encuentran de uno y otro lado del signo de la igualdad (=).

Llámese primer miembro, la parte de la ecuación que está a la izquierda del signo de la igualdad (3x).

Llámese segundo miembro, la parte de la ecuación que está a la derecha del signo de la igualdad (15), o sea en: 

Toda ecuación consta tan solo de dos miembros, el primero y el segundo; pero cada miembro puede tener uno o más términos, así:

3x = 15  $\Rightarrow$  (Esta ecuación consta de dos términos).          

4x + x = 18 + 2  $\Rightarrow$  (Esta ecuación consta de dos términos).

RAÍZ Y CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Si en la ecuación: 5x + 10 = 20, si la variable "x" le damos un valor de 2, obtenemos la proposición verdadera veamos: 5(2) + 10 = 20 

En este caso se dice que 2 es la raíz o solución de la ecuación: 5x + 10 = 20, y el conjunto (2) es el conjunto solución de la ecuación.

Si en la ecuación: $(x)^{2}$ + 4x = 12, si la variable "x" le damos los valores de 2 y -6, obtenemos la proposición verdadera veamos: 

$(2)^{2}$ + 4(2) = 12

$(-6)^{2}$+ 4(-6) = 12

En este caso se dice que 2 y -6 son las raíces o soluciones de la ecuación.

$(x)^{2}$ + 4x = 12 y el conjunto {2 , -6} es el conjunto solución de la ecuación.

SOLUCIÓN O RAÍZ DE UNA ECUACIÓN 

Es el número que al remplazar a la variable de la ecuación la transforma en una proposición verdadera.

CONJUNTO SOLUCIÓN

El conjunto solución de una ecuación de primer grado con una variable, es el conjunto que tiene como único elemento a la raíz de la ecuación.

RESOLVER UNA ECUACIÓN

Resolver una ecuación es hallar el conjunto solución de la ecuación.

Ejemplo: 

Dada la ecuación: 7x = 35

La variable o incógnita es "x", la raíz o valor de "x" que satisface la ecuación es: 5

Luego: El conjunto solución S de la ecuación es: S = {5}

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

Considerando en la ecuación sus distintos elementos, éstos pueden ser:

1) CON RESPECTO A LOS COEFICIENTES DE LAS INCÓGNITAS:

a) Ecuaciones Numéricas: Si los coeficientes de las incógnitas son números.

Ejemplo:

2$x^{2}$ - 3x + 7 = 0 (Los coeficientes son: 2, -3 y 7).

b) Ecuaciones Literales: Si los coeficientes de las incógnitas son letras.

Ejemplo:

a$x^{2}$ + bx + c = 0 (Los coeficientes son: a, b y c).

2)  CON RESPECTO A SU FORMA:

a) Ecuaciones Racionales: Cuando sus incógnitas no están afectadas de radical. Estos a su vez pueden ser: ecuaciones racionales enteras o ecuaciones raciona­ les fraccionarias.

Ejemplos:

4$x^{2}$ - 5x = 21            (Ecuación racional entera)

$\frac{x+1}{x+2}+\frac{x-1}{x-3}=\frac{23}{6}$        (Ecuación racional fraccionaria)

Una ecuación es racional fraccionaria cuando presenta letras en su denominador.

b) Ecuaciones Irracionales: Cuando la incógnita se encuentra dentro de un radical.

Ejemplos:

$\sqrt{x+3}=2$

$\sqrt{x+1}+\sqrt{x}=1$

3) CON RESPECTO AL NÚMERO DE INCÓGNITAS:

Pueden ser de una, dos, tres o más incógnitas.

Ejemplos:

2x + 1 = 3x - 4    ;     es una ecuación con una incógnita: x

5x - 3y = 3    ;     es una ecuación con dos incógnitas: x e y

x + 2y - 3z = 8    ;     Es una ecuación con tres incógnitas: x, y, z.

4) CON RESPECTO AL GRADO DE LA INCÓGNITA:

a) Ecuaciones de Primer Grado: Cuando el exponente de la incógnita es uno (1)

Ejemplo:

6x - 5 = 8

b) Ecuación de Segundo Grado: Cuando el exponente de la Incógnita es dos (2)

Ejemplo:

$x^{2}$ + 5x + 6

c) Ecuación de Tercer Grado: Cuando el exponente de la incógnita es tres (3)

Ejemplo:

$x^{3}$ - 27

d) En General de "n" Grado: Según el grado de la incógnita a toda ecuación le corresponde tantas raíces o soluciones.

Veamos: 

Si la ecuación es de 1º grado le corresponde una raíz

SI la ecuación es de 2º grado le corresponde dos raíces

Si la ecuación es de 3º grado le corresponde tres raíces

5) CON RESPECTO A SUS RAÍCES O SOLUCIONES:

Puede ser:

a) Compatibles: Cuando tienen por lo menos una solución. A su vez estas ecuaciones se dividen en:

Determinadas: Si tienen un número limitado de soluciones.

Ejemplos:

4x - 7 = x + 8    ;    tiene una sola raíz o solución

$x^{2}$ - 3 = 6    ;    tiene dos raíces o soluciones.

Indeterminadas: Si tienen un número ilimitado de soluciones.

Ejemplo:

2x + 1 = 2x + 1 ; Es indeterminada, esto significa que la igualdad se verifica para cualquier valor de x, es decir tiene Infinitas soluciones.

b) Incompatibles o Absurdas: Son aquellas que no admiten solución.

Ejemplo:

Esta ecuación resulta ser absurda, pues el signo que precede a la raíz, es positiva, luego en el segundo miembro debería aparecer una cantidad positiva y no negativa como la que aparece.

Ejemplo:

3x + 1 = 3x + 4    ;    también es una ecuación incompatible.

ECUACIONES EQUIVALENTES

Dos ecuaciones con las mismas incógnitas se llaman equivalentes si todas las soluciones de la primera ecuación son soluciones de la segunda y viceversa.

Ejemplo: 

La ecuación: $\frac{x}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}$    ;    y la ecuación: 3x - 5 = 3 - x ; son equivalentes ya que ambos se satisfacen para: x = 2

PRINCIPIOS GENERALES DE LAS ECUACIONES

Claro está que si sobre dos cantidades iguales se ejecuta una misma operación, los resultados quedarán iguales.

Aplicando esta verdad a la solución de una ecuación, podemos enunciar los siguientes principios:

1) Sin alterar las soluciones de una ecuación, se puede añadir una misma cantidad a sus dos miembros.

Ejemplo:

3x - 5 = 7    ;    sumamos "5" a ambos miembros:

3x - 5 + 5 = 7 + 5    $\Rightarrow$    3x = 12

2) Sin alterar las soluciones de una ecuación, se puede restar una misma cantidad a sus dos miembros.

Ejemplo:

5x + 3 = 13    ;    restamos "3" a ambos miembros:

5x + 3 - 3  = 13 - 3    $\Rightarrow$    5x = 10

3) Sin alterar las soluciones de una ecuación, se puede multiplicar por una misma cantidad a ambos miembros.

Ejemplo:

4x + 1 = 21    ;    multiplicamos "2" a ambos miembros:

2(4x + 1) = 21(2)    $\Rightarrow$    8x + 2 = 42

4) Sin alterar las soluciones de una ecuación se puede dividir por una misma cantidad a ambos miembros (dicha cantidad debe ser diferente de cero).

Ejemplo:

3x - 6 = 9    ;    dividimos entre "3" a ambos miembros.

$\frac{3x-6}{3}=\frac{9}{3}$    $\Rightarrow$    $\frac{3x}{3}-\frac{6}{3}=3$    $\Rightarrow$    x - 2 = 3

PROPIEDAD DE TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS

En toda ecuación, lo que esta sumando, restando, multiplicando y dividiendo en un miembro, pasa restando, sumando, dividiendo y multiplicando, respectivamente al otro miembro. Así:

a)  x + 5 = 11    Entonces:    x = 11 - 5

b) y - 7 = 4    Entonces:    y = 7 + 4 

c) 4z = 16    Entonces:    z = $\frac{16}{4}$

d) $\frac{w}{5}$ = 7    Entonces:    w = 7 $\bullet$ 5

ECUACIONES FRACCIONARIAS

Para resolver una ecuación fraccionaria, primero se da común denominador, buscando m.c.m. de los denominadores. El m.c.m. es el común denominador, el cual se divide entre cada uno de los denominadores, multiplicando su numerador por el cociente obtenido; se anulan los denominadores (multiplicando mentalmente toda la ecuación por el común denominador, con lo cual quedan simplificados todos los términos) y se sigue resolviendo solamente el numerador, el cual constituye una ecuación equivalente a la anterior.

Ejemplo:

Resolver la ecuación: $\frac{3x}{5}-\frac{4x}{15}=7-\frac{2x-2}{2}$

Resolución:

Común denominador: 2 x 3 x 5 = 30 

$\frac{6\bullet 3x}{30}-\frac{2\bullet 4x}{30}=\frac{30\bullet 7}{30}-\frac{15(2x-2)}{30}$

Se anulan los denominadores: 18x - 8x = 210 - 30x + 30

Transponemos términos: 18x - 8x + 30x = 210 + 30

40x = 240    ;    despejamos "x"

x = $\frac{240}{40}$

x = 6

Respuesta: El conjunto solución de la ecuación es: S = { 6 }