ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

En toda ecuación en la que figura una sola variable uno (1) y además no aparece esta variable como denominador, ósea es de la forma:

ax + b = c; 

Donde: a, b y c son números reales, a $\neq$ 0 

Ejemplos:

5x - 2 = 2x + 5     Es una ecuación de primer grado con variable "x"

y +5 = 12        Es una ecuación de primer grado con variable "y"

En toda ecuación se consideran dos miembros:

RAÍZ DE UNA ECUACIÓN

Es hallar un conjunto de soluciones.

CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN 

Es el conjunto que tiene como únicos elementos a la raíz o las raíces de una ecuación. 

RESOLVER UNA ECUACIÓN 

Es hallar un conjunto solución 

VERIFICAR Y COMPROBAR UNA ECUACIÓN

Es el constatar que el valor o los valores hallados para la variable transforma a la ecuación en una proposición verdadera.

Ejemplo:

Resolver la ecuación:

$ \frac{x+1}{x+2}+\frac{3x+1}{x-1}=4$

Resolución:

En esta ecuación, observamos que 2 y 1 no pueden ser raíces de la ecuación, porque dichos números hacen que las fracciones tengan denominador cero.

Sacando común denominador en la ecuación, se tiene:

$\frac{(x+1)(x-1)+(x+2)(3x+1)}{(x+2)(x-1)}=4$

$\frac{(x^{2}-1)+(3x^{2}+7x+2)}{(x^{2}+x-2)}=4$

$4x^{2}+7x+1=4(x^{2}+x-2)$

$4x^{2}+7x+1=4x^{2}+4x-8$

3x = -9

x = -3

Respuesta: El conjunto solución de la ecuación es: S = {-3}

Ejemplo:

Resolver la ecuación:

$(x+3)^{2}-17=(x+2)^{2}$

Resolución:

Desarrollamos cada binomio suma de cuadrados, obtenemos:

$x^{2}+6x+9-17=x^{2}+4x+4$ 

2x - 8 = 4

2x = 12

x = 6

Respuesta: El conjunto solución de la ecuación es: S = {6}

Ejemplo:

Resolver la ecuación:

$\frac{4}{x^{2}-x-12}+\frac{2}{x-4}=\frac{5}{x+3}$

Resolución:

Factorizamos: $x^{2}-x-12$ = (x - 4)(x + 3)

$\frac{4}{(x-4)(x+3)}+\frac{2}{x-4}=\frac{5}{x+3}$

Sacamos común denominador en ambos miembros

$\frac{4+2(x+3)}{(x-4)(x+3)}=\frac{5(x-4)}{(x-4)(x+3)}$

Simplificamos los denominadores

4 + 2(x + 3) = 5(x - 4)

4 + 2x + 6 = 5x - 20

30 = 3x

x = 10

Respuesta: El conjunto solución de la ecuación es: S = {10}

Ejemplo:

Resolver la ecuación:

$\frac{3x-5}{x-2}=\frac{3x+2}{x+1}$

Resolución:

La ecuación dada se puede escribir así:

(3x - 5)(x + 1) = (3x + 2)(x - 2)

3$x^{2}$ + 3x - 5x - 5 = 3$x^{2}$ - 6x + 2x - 4

-2x - 5 = -4x - 4

2x = 1

x = $\frac{1}{2}$

Respuesta: El conjunto solución de la ecuación es: S = {$\frac{1}{2}$}