BINOMIO DE NEWTON

DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON

Con exponente entero y positivo.

Haciendo uso de los productos notables, se calcula el producto de $“n”$ factores binomios; y de esta manera, se indica cuál es el desarrollo de un binomio de la forma

$$\left ( x+a \right )^n$$

PROPIEDADES DEL BINOMIO DE NEWTON

1º Su desarrollo es un polinomio completo de $(n+1)$ términos. 

2º Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales; lo cual es evidente, por ser números combinatorios complementarios. 

3º El exponente de $“x”$ en cada término es igual al número de términos que le siguen y el de “a” al que le preceden. 

4º El coeficiente del primer término, es $1$ y el coeficiente del segundo término es igual al exponente del primer término. 

5º El coeficiente de cada término es igual al del anterior multiplicado por el exponente de $“x”$, también en el término anterior y dividido por el de $“a”$, del término anterior aumentado en una unidad. 

6º Si los términos del binomio tienen signos contrarios, los términos del desarrollo serán alternativamente positivos y negativos siendo negativos los que contengan potencias impares del término negativo del binomio. Basta sustituir en el desarrollo $“a”$ por $“-a”$. 

7º Si los dos términos del binomio son negativos, todos los términos del desarrollo serán positivos o negativos según que el exponente sea par o impar. En efecto, se tiene:

8º La suma de los coeficientes de los términos del desarrollo de un binomio de cualquier grado es igual a $2$ elevado a esa potencia. Basta hacer en el desarrollo de Newton $x = a = 1$ y se tiene:

9º La suma de los coeficientes de los términos de lugar impar es igual a la suma de los de lugar par. 

10º Con respecto a las letras $“x”$ y $“a”$, el desarrollo es un polinomio homogéneo de grado $n$.

MÉTODO DE INDUCCIÓN

Para $n$ factores:

donde:

Ahora: 

Si $a = b = c = d = … = k$ 

es decir, si todas las letras son $“a”$:

Luego, el producto de $n$ factores $(x + a)$ es igual a $\left ( x+a \right )^n$ y su desarrollo es:

o también:

Ejemplo. Desarrollar:

FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL 

Esta fórmula permite escribir un término cualquiera del desarrollo del binomio. 

Se sabe que:

Siguiendo la ley de formación de todos los términos del desarrollo.

donde: 

$(k + 1)$ = lugar que ocupa el término buscado. 

$Ck$ = combinaciones de $“n”$ elementos tomados de $“k”$ en $“k”$.

$n$ = exponente del binomio. 

$x$ = primer término del binomio. 

$a$ = segundo término del binomio. 

$k$ = lugar menos 1 del término buscado

Ejemplo.- Hallar el término 10 del desarrollo de la potencia:

Solución: 

Nótese que: 

$n = 12$ ; $k + 1 = 10$ ; $k = 9$

Aplicando la fórmula:

EJERCICIOS RESUELTOS

Hallar n para que el $t_{25}$ del desarrollo de

contenga a $"x"$ con exponente 44.

Solución:

Cálculo de $t_{25}$

El exponente de $“x”$ en este término debe ser, según el problema, igual a 44; es decir:

Hallar el exponente de $“a”$ en el término independiente (que no tiene x; en términos formales, es independiente de $“x”$) en el desarrollo de la potencia:

Solución: 

Cálculo del término general:

Si es independiente de $x$, el exponente de $“x”$ debe ser cero; es decir:

$m(m + n - k) - nk = 0$

$m(m + n) - mk - nk = 0$ 

$m(m + n) = (m + n)k$

luego:

$k=m$

El exponente de $“a”$ en este término es:

Respuesta: El exponente es 1.

TÉRMINO CENTRAL

En el desarrollo del Binomio de Newton, se denomina así, al término que equidista de los extremos. 

Se presenta dos casos:

1.- Cuando el exponente es par, de la forma a $\left ( x+a \right )^{2n}$, existe un sólo término central y su lugar se determina según la fórmula:

2.- Cuando el exponente es impar, de la forma $\left ( x+a \right )^{2n+1}$, existen dos términos centrales y sus lugares se determina por las fórmulas:

1er.Central:

2do.Central: 

$$n + 1 + 1 = n + 2$$

EJERCICIOS RESUELTOS

En el siguiente binomio

uno de sus términos centrales es independiente de “x”. Calcular el número de términos.

Solución: 

Como el exponente es impar hay 2 términos centrales, cuyos lugares son: 

1er. término central:

2do. término central:

$$n+1$$

Cálculo del $t_n$:

si es independiente de $“x”$ su exponente es cero:

$4n - 3(n - 1) = 0$

de donde: $n = -3$

Pero es negativo por lo tanto no es la respuesta buscada por no ser independiente $“x”$.

Cálculo del $t_{n+1}$:

si es independiente de $“x”$ su exponente es cero:

$4(n - 1) - 3n = 0$

$4n - 4 - 3n = 0   n = 4$

Respuesta: El número de términos es 8.

Si el término central del desarrollo de:

es de grado absoluto seis. Calcular el exponente que tiene $“y”$ en ese término. 

Solución: 

Si hay un término central, $“n”$ es un exponente par, luego el lugar que ocupa el término central es:

Cálculo de $t_{(\frac{n}{2}+1)}$: 

El grado absoluto del $t_{(\frac{n}{2}+1)}$ es:

Por lo tanto, el exponente de $“y”$ en este término es:

TRIÁNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA

Permite determinar los coeficientes del desarrollo del Binomio de Newton. Escribiendo en línea horizontal, los coeficientes del desarrollo de la sucesivas potencias del binomio forman el triángulo aritmético de Pascal o de Tartaglia, de la siguiente manera:

Coeficientes de:

En este triángulo, un coeficiente cualquiera es igual a la suma de los dos que van sobre él en la línea anterior. Se utiliza para potencias pequeñas.

Ejemplo:

Efectuar el desarrollo de $\left ( x^3+y^4 \right )^5$ formando el triángulo de Pascal.

Solución:

Luego:

DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON 

Con exponente negativo y/o fraccionario

En este caso se utilizará:

ya que la fórmula no tiene combinaciones.

Ejemplo.- Hallar los 5 primeros números en el desarrollo de: $\left ( 1-x \right )^{-2}$

Solución: 

Utilizando la fórmula:

Luego efectuando operaciones:

PROPIEDADES DEL DESARROLLO DEL BINOMIO:

1º El número de términos es infinito, y al desarrollo se le conoce con el nombre de serie binómica de Newton. 

2º Para determinar el desarrollo de $\left ( x+a \right )^n$ para un número fraccionario y/o negativo, el valor de $“x”$ debe ser uno y además cumplir que $x > a$ . Los valores de a deben ser tales que: $0 < a < 1$. 

3º Los términos del desarrollo con respecto a sus signos, no tienen ninguna relación. 

4º Para extraer la raíz de un número con aproximación por la serie binómica de Newton, se utiliza la siguiente relación.

donde $0 < x < 1$.

5º Para determinar el término general en el desarrollo, se utiliza la siguiente fórmula.

Sea el binomio $\left ( x+a \right )^n$ donde $“n”$ es un número fraccionario y/o negativo.

donde:

EJERCICIOS RESUELTOS

Hallar

Solución:

Se debe escribir 921,6 como un número que tenga raíz quinta exacta y ponerlo como una suma o resta.

$921,6 = 1 024 - 102,4$

Notar que 

Aplicando la fórmula para extraer la raíz con aproximación, y operando sucesivamente:

finalmente: 

Hallar el número de términos que se debe tomar del desarrollo de $\left ( 1-x \right )^{-2}$ para que la suma de sus coeficientes sea 2485.

Solución:

Desarrollando algunos términos, con la finalidad de obtener la relación en que se encuentran los coeficientes del desarrollo:

Suponiendo que se tome $“n”$ términos, la suma sería:

$1 + 2 + + 3 + 4 + 5 + … + n = 2 485$

que equivale a:

por comparación: $n = 70$

Respuesta: Se deben tomar 70 términos.