ECUACIONES

PRINCIPALES CONCEPTOS

IGUALDAD .- Es la expresión de la equivalencia de dos cantidades

ECUACIONES EQUIVALENTES 

Son ecuaciones que tienen las mismas soluciones; es decir, que las soluciones de una, son también las de la otra. 

Ejemplo:

$4x - 5 = 2x +13$ 

$x + 3 = 12$

son ecuaciones equivalentes ya que $x = 9$ es la solución de ambas ecuaciones.

CLASES DE IGUALDADES

A) IGUALDAD ABSOLUTA 

Llamada también identidad, o igualdad incondicional. Es aquella que se verifica para cualquier valor numérico de sus letras.

Ejemplos:

$i)$ $\ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$ii)$ $\ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

B) IGUALDAD RELATIVA O ECUACIÓN

Llamada también igualdad condicional. Es aquella que se verifica para algunos valores particulares, atribuidos a sus letras, llamadas incógnitas.

$i)$ $5x + 2 = 17$ ; se verifica para $x = 3$

$ii)$ $\ x^2 - 5x + 6 = 0$; se verifica para $$\begin{cases} x_1=2\\ x_2=3 & \end{cases}$$

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES 

Esta se realiza atendiendo:

1) Al grado: Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc. 

2) A los coeficientes: Pueden ser numéricas o literales. 

3) A las incógnitas: Pueden ser de una, dos, tres incógnitas, etc. 

4) A las soluciones: Pueden ser compatibles e incompatibles.

a) COMPATIBLES.- Son aquellas que admiten solución y pueden ser, a su vez: 

1º Determinadas.- Si admiten un número limitado de soluciones. 

2º Indeterminadas.- Si admiten un número ilimitado de soluciones. 

b) INCONPATIBLES O ABSURDAS.- Son aquellas que no admiten solución.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LAS IGUALDADES QUE PERMITEN TRANSFORMAR LAS ECUACIONES

1er. PRINCIPIO.- Si a ambos miembros de una ecuación se suma o resta una misma expresión o un mismo número, resulta una ecuación equivalente a la primera.

Ejemplo:

Sea la ecuación $A = B$ donde $A$ y $B$ son el primer y segundo miembro y $“m”$ una cantidad cualesquiera, entonces:

$A ± m = B ± m$

2do. PRINCIPIO.- Si a ambos miembros de una ecuación se multiplica o divide por un mismo número o por una misma expresión independiente de $x(m ≠ 0, m ≠ ∞)$ se obtiene una ecuación que es equivalente a la primera.

Ejemplo:

Sea la ecuación: $A = B$

Multiplicando por $m ≠ 0, m ≠ ∞$ ; se tiene: 

$$A . m = B . m$$

dividiendo entre $m ≠ 0, m ≠ ∞$ ; se tiene:

$$\frac{A}{m}=\frac{B}{m}$$

NOTA.- Obsérvese que si m está dependiendo de la incógnita, se obtendrá soluciones extrañas; o sea, soluciones que no pertenecen a la ecuación.

3er. PRINCIPIO.- Si a ambos miembros se una ecuación se eleva a una misma potencia o se extrae una misma raíz, la ecuación que resulta es parcialmente equivalente a la primera.

Ejemplo: 

Sea la ecuación: 

$$A = B$$

o:

$$A - B=0$$

Elevando los dos miembros a la $“m”$:

$$A^m=B^m$$

o: 

$$A^m-B^m=0$$

factorizando por cocientes notables:

$(A - B)A^{m-1}+A^{m-2}B+A^{m-3}B^2+\cdots+B^{m-1}=0$

de aquí se obtiene: 

$$A - B = 0$$

$$A=B$$

y:

$$A^{m-1}+A^{m-2}B+A^{m-3}B^2+\cdots+B^{m-1}=0$$

(Ecuación donde aparecen soluciones extrañas). 

En forma análoga, se obtiene para la raíz.

NOTA.- Se denomina soluciones extrañas, a aquellas que se introducen o se pierden en una ecuación al realizar ciertas operaciones.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 

Son aquellas que pueden reducirse a la forma: 

$ax + b = 0$ 

siendo $a$ y $b$ coeficientes. La solución es:

$$x=-\frac{a}{b}$$

DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN 

1) Si $a ≠ 0, b ≠ 0$, se tendrá:

$$x=-\frac{a}{b}$$

2) Si $a ≠ 0$, $b ≠ 0$, se tendrá: $x = 0$. 

3) Si $a = 0$, $b = 0$, se tendrá: $x = indeterminada$ 

4) Si $a = 0$, $b ≠ 0$; no se tendrá ninguna solución; o, es una ecuación incompatible o absurda.

EJERCICIO RESUELTOS

Resolver:

$$x-\sqrt{x^2-8}=4$$

Solución: 

Transponiendo términos para lograr eliminar el radical:

$$x-4=\sqrt{x^2-8}$$

elevando al cuadrado: 

$$\left ( x-4 \right )^2=\left ( \sqrt{x^2-8} \right )^2$$

$$x^2-8x+16=x^2-8$$

$$24=8x$$

$$x=3$$

Para verificar la solución obtenida, se reemplaza este valor en la ecuación propuesta, así:

$$3-\sqrt{9-8}=3-\sqrt{1}=3-1=2\neq 4$$

El valor $x = 3$, no satisface a la ecuación propuesta, luego se trata de una solución extraña. Como no existe otra solución, la solución es incompatible ya que aritméticamente $\sqrt{1}=1$, pero también podría considerarse $\sqrt{1}=-1$ 

Resolver:

$$\frac{x^2-6x+10}{x^2+8x+17}=\left ( \frac{x-3}{x+4} \right )^2$$

Solución: 

Desarrollando la potencia:

$$\frac{x^2-6x+10}{x^2+8x+17}=\frac{x^2-6x+9}{x^2+8x+16}$$

haciendo un cambio de variable:

$$x^2-6x=a$$

$$x^2+8x=b$$

se tendrá:

$$\frac{a+10}{b+17}=\frac{a+9}{b+16}$$

efectuando:

$$(a + 10)(b + 16) = (a + 9)(b + 17)$$

$$ab + 10b + 16a + 160 = ab + 17a + 9b + 153$$

transponiendo y simplificando los términos iguales de ambos miembros:

$$10b - 9b + 16a - 17a = 153 - 160$$

de donde:

$$b - a = -7$$

sustituyendo valores de $a$ y $b$:

$$\left ( x^2+8x \right )-\left ( x^2-6x \right )=-7$$

simplificando:

$$14x = -7$$

$$x=-\frac{7}{14}$$

finalmente:

$$x=-\frac{1}{2}$$

Resolver:

$$\sqrt{x+11+5\sqrt{2x-3}}+\sqrt{x+3+3\sqrt{2x-3}}=9\sqrt{2}$$

Solución:

Multiplicando ambos miembros por $\sqrt{2}$:

Efectuando:

$$\sqrt{2}\left [ \sqrt{x+11+5\sqrt{2x-3}}+\sqrt{x+3x+3\sqrt{\sqrt{2x-3}}} \right ]=9\cdot 2$$

efectuando:

$\sqrt{2x+22+10\sqrt{2x-3}}+\sqrt{2x+6+6\sqrt{2x-3}}=18$

Transformando los radicales dobles a simples:

$\sqrt{2x+22+2\sqrt{25(2x-3)}}+\sqrt{2x+6+2\sqrt{9(2x-3)}}=18$

$\sqrt{25+(2x-3)+2\sqrt{25(2x-3)}}$
$+\sqrt{9+(2x-3)+2\sqrt{9(2x-3)}}=18$

elevando al cuadrado:

$2x - 3 = 25$

$x=\frac{28}{2}$

finalmente: 

$x = 14$

Resolver:

$$\frac{\sqrt[n]{2x}}{2}=\sqrt[n]{2}-\frac{\sqrt[n]{2+x}}{x}$$

El mínimo común múltiplo de los denominadores es $(2x)$; multiplicando ambos miembros de la ecuación por este valor:

$$\frac{(2x)\sqrt[n]{2x}}{2}=(2x)\sqrt[n]{2}-\frac{(2x)\sqrt[n]{2+x}}{x}$$

$$x\sqrt[n]{2+x}=(2x)\sqrt[n]{2x}-2\sqrt[n]{2+x}$$

transponiendo términos, adecuadamente:

$$x\sqrt[n]{2+x}+2\sqrt[n]{2+x}=(2x)\sqrt[n]{2x}$$

factorizando:

$$(x+2)\sqrt[n]{2+x}=(2x)\sqrt[n]{2x}$$

elevando a la $“n”$:

$$\left [\sqrt[n]{2+x}(2+x)  \right ]^n=\left [ (2x)\sqrt[n]{2x} \right ]^n$$

efectuando:

$$(2+x)(2+x)^n=(2x)^n(2x)$$

$$(2+x)^{n+1}=(2x)^{n+1}$$

extrayendo raíz $“n + 1”$:

$$2 + x = 2x$$

Respuesta: $x = 2$