PRINCIPALES CONCEPTOS
IGUALDAD .- Es la expresión de la equivalencia de dos cantidades
ECUACIONES EQUIVALENTES
Son ecuaciones que tienen las mismas soluciones; es decir, que las soluciones de una, son también las de la otra.
Ejemplo:
$4x - 5 = 2x +13$
$x + 3 = 12$
son ecuaciones equivalentes ya que $x = 9$ es la solución de ambas ecuaciones.
CLASES DE IGUALDADES
A) IGUALDAD ABSOLUTA
Llamada también identidad, o igualdad incondicional. Es aquella que se verifica para cualquier valor numérico de sus letras.
Ejemplos:
$i)$ $\ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$ii)$ $\ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
B) IGUALDAD RELATIVA O ECUACIÓN
Llamada también igualdad condicional. Es aquella que se verifica para algunos valores particulares, atribuidos a sus letras, llamadas incógnitas.
$i)$ $5x + 2 = 17$ ; se verifica para $x = 3$
$ii)$ $\ x^2 - 5x + 6 = 0$; se verifica para \begin{cases} x_1=2\\ x_2=3 & \end{cases}
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
Esta se realiza atendiendo:
1) Al grado: Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc.
2) A los coeficientes: Pueden ser numéricas o literales.
3) A las incógnitas: Pueden ser de una, dos, tres incógnitas, etc.
4) A las soluciones: Pueden ser compatibles e incompatibles.
a) COMPATIBLES.- Son aquellas que admiten solución y pueden ser, a su vez:
1º Determinadas.- Si admiten un número limitado de soluciones.
2º Indeterminadas.- Si admiten un número ilimitado de soluciones.
b) INCONPATIBLES O ABSURDAS.- Son aquellas que no admiten solución.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LAS IGUALDADES QUE PERMITEN TRANSFORMAR LAS ECUACIONES
1er. PRINCIPIO.- Si a ambos miembros de una ecuación se suma o resta una misma expresión o un mismo número, resulta una ecuación equivalente a la primera.
Ejemplo:
Sea la ecuación $A = B$ donde $A$ y $B$ son el primer y segundo miembro y $“m”$ una cantidad cualesquiera, entonces:
$A ± m = B ± m$
2do. PRINCIPIO.- Si a ambos miembros de una ecuación se multiplica o divide por un mismo número o por una misma expresión independiente de $x(m ≠ 0, m ≠ ∞)$ se obtiene una ecuación que es equivalente a la primera.
Ejemplo:
Sea la ecuación: $A = B$
Multiplicando por $m ≠ 0, m ≠ ∞$ ; se tiene:
$$A . m = B . m$$
dividiendo entre $m ≠ 0, m ≠ ∞$ ; se tiene:
$$\frac{A}{m}=\frac{B}{m}$$
NOTA.- Obsérvese que si m está dependiendo de la incógnita, se obtendrá soluciones extrañas; o sea, soluciones que no pertenecen a la ecuación.
3er. PRINCIPIO.- Si a ambos miembros se una ecuación se eleva a una misma potencia o se extrae una misma raíz, la ecuación que resulta es parcialmente equivalente a la primera.
Ejemplo:
Sea la ecuación:
$$A = B$$
o:
$$A - B=0$$
Elevando los dos miembros a la $“m”$:
$$A^m=B^m$$
o:
$$A^m-B^m=0$$
factorizando por cocientes notables:
$(A - B)A^{m-1}+A^{m-2}B+A^{m-3}B^2+\cdots+B^{m-1}=0$
de aquí se obtiene:
$$A - B = 0$$
$$A=B$$
y:
$$A^{m-1}+A^{m-2}B+A^{m-3}B^2+\cdots+B^{m-1}=0$$
(Ecuación donde aparecen soluciones extrañas).
En forma análoga, se obtiene para la raíz.
NOTA.- Se denomina soluciones extrañas, a aquellas que se introducen o se pierden en una ecuación al realizar ciertas operaciones.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Son aquellas que pueden reducirse a la forma:
$ax + b = 0$
siendo $a$ y $b$ coeficientes. La solución es:
$$x=-\frac{a}{b}$$
DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN
1) Si $a ≠ 0, b ≠ 0$, se tendrá:
$$x=-\frac{a}{b}$$
2) Si $a ≠ 0$, $b ≠ 0$, se tendrá: $x = 0$.
3) Si $a = 0$, $b = 0$, se tendrá: $x = indeterminada$
4) Si $a = 0$, $b ≠ 0$; no se tendrá ninguna solución; o, es una ecuación incompatible o absurda.
EJERCICIO RESUELTOS
Resolver:
$$x-\sqrt{x^2-8}=4$$
Solución:
Transponiendo términos para lograr eliminar el radical:
$$x-4=\sqrt{x^2-8}$$
elevando al cuadrado:
$$\left ( x-4 \right )^2=\left ( \sqrt{x^2-8} \right )^2$$
$$x^2-8x+16=x^2-8$$
$$24=8x$$
$$x=3$$
Para verificar la solución obtenida, se reemplaza este valor en la ecuación propuesta, así:
$$3-\sqrt{9-8}=3-\sqrt{1}=3-1=2\neq 4$$
El valor $x = 3$, no satisface a la ecuación propuesta, luego se trata de una solución extraña. Como no existe otra solución, la solución es incompatible ya que aritméticamente $\sqrt{1}=1$, pero también podría considerarse $\sqrt{1}=-1$
Resolver:
$$\frac{x^2-6x+10}{x^2+8x+17}=\left ( \frac{x-3}{x+4} \right )^2$$
Solución:
Desarrollando la potencia:
$$\frac{x^2-6x+10}{x^2+8x+17}=\frac{x^2-6x+9}{x^2+8x+16}$$
haciendo un cambio de variable:
$$x^2-6x=a$$
$$x^2+8x=b$$
se tendrá:
$$\frac{a+10}{b+17}=\frac{a+9}{b+16}$$
efectuando:
$$(a + 10)(b + 16) = (a + 9)(b + 17)$$
$$ab + 10b + 16a + 160 = ab + 17a + 9b + 153$$
transponiendo y simplificando los términos iguales de ambos miembros:
$$10b - 9b + 16a - 17a = 153 - 160$$
de donde:
$$b - a = -7$$
sustituyendo valores de $a$ y $b$:
$$\left ( x^2+8x \right )-\left ( x^2-6x \right )=-7$$
simplificando:
$$14x = -7$$
$$x=-\frac{7}{14}$$
finalmente:
$$x=-\frac{1}{2}$$
Resolver:
$$\sqrt{x+11+5\sqrt{2x-3}}+\sqrt{x+3+3\sqrt{2x-3}}=9\sqrt{2}$$
Solución:
Multiplicando ambos miembros por $\sqrt{2}$:
Efectuando:
$$\sqrt{2}\left [ \sqrt{x+11+5\sqrt{2x-3}}+\sqrt{x+3x+3\sqrt{\sqrt{2x-3}}} \right ]=9\cdot 2$$
efectuando:
$\sqrt{2x+22+10\sqrt{2x-3}}+\sqrt{2x+6+6\sqrt{2x-3}}=18$
Transformando los radicales dobles a simples:
$\sqrt{2x+22+2\sqrt{25(2x-3)}}+\sqrt{2x+6+2\sqrt{9(2x-3)}}=18$
$\sqrt{25+(2x-3)+2\sqrt{25(2x-3)}}$
$+\sqrt{9+(2x-3)+2\sqrt{9(2x-3)}}=18$
elevando al cuadrado:
$2x - 3 = 25$
$x=\frac{28}{2}$
finalmente:
$x = 14$
Resolver:
$$\frac{\sqrt[n]{2x}}{2}=\sqrt[n]{2}-\frac{\sqrt[n]{2+x}}{x}$$
El mínimo común múltiplo de los denominadores es $(2x)$; multiplicando ambos miembros de la ecuación por este valor:
$$\frac{(2x)\sqrt[n]{2x}}{2}=(2x)\sqrt[n]{2}-\frac{(2x)\sqrt[n]{2+x}}{x}$$
$$x\sqrt[n]{2+x}=(2x)\sqrt[n]{2x}-2\sqrt[n]{2+x}$$
transponiendo términos, adecuadamente:
$$x\sqrt[n]{2+x}+2\sqrt[n]{2+x}=(2x)\sqrt[n]{2x}$$
factorizando:
$$(x+2)\sqrt[n]{2+x}=(2x)\sqrt[n]{2x}$$
elevando a la $“n”$:
$$\left [\sqrt[n]{2+x}(2+x) \right ]^n=\left [ (2x)\sqrt[n]{2x} \right ]^n$$
efectuando:
$$2 + x = 2x$$
Respuesta: $x = 2$
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