RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
INCLUSIÓN O SUBCONJUNTOS
Se dice que el conjunto A es parte del conjunto B, o que está incluido en B, si todos los elementos de A están en B. Se le denota como $A\subset B$ que se lee: "A" incluido en "B"
Es decir
Se acostumbra también a leerse como que A está contenido o es subconjunto de B y en el caso que se denota como $A\supset B$, se lee: “B contiene o incluye al conjunto A".
Ejemplo.
Sean los conjuntos
A={2, 4, 6} y B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Se observa que: "A " es subconjunto de "b" porque todos los elementos de "A “ pertenecen también a "B". Simbólicamente lo expresamos así: $A\subset B$
se lee:
"A“ está incluido en "B" ; "A” está contenido en "B",
"A" es subconjunto de “B” o “A” es parte de “B".
Representación utilizando diagramas de Venn-Euler
La relación de inclusión se utiliza entre conjuntos y no entre elemento y conjuntos.
PROPIEDADES DE INCLUSIÓN.
1) Todo conjunto es subconjunto de si mismo.
2) El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto.
3) Si un conjunto está incluido en otro, y esté en un tercero, entonces el primer conjunto está incluido en el tercer conjunto.
SUBCONJUNTO PROPIO:
Si un conjunto “A" es un subconjunto de otro conjunto ”B", y este otro conjunto "B" tiene uno ó más elementos que no pertenecen al subconjunto "A", se dice que: "A” es parte propia o subconjunto propio de "B".
Ejemplo.
Dado los conjuntos.
A={2, 3, 5, 7} y B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
"A” es un subconjunto propio de "B"
Representación usando el Diagrama de Venn-Euler
CONJUNTOS COMPARABLES
Dos conjuntos A y B son comparables si y sólo si $A\subset B$ o $B\supset A$. Es decir cuando uno de los conjuntos está incluido en el otro.
En el caso que:
entonces estos dos conjuntos son no comparables.
Ejemplo.
Si A={a, e, i} y B={a, e, i, o, u}
El conjunto A es comparable con B porque:
Si S={7, 2, 1, 3,5} y T={7, 2, 4}
los conjuntos no son comparables, pues:
FAMILIA DE CONJUNTOS O CONJUNTO DE CONJUNTOS.
Es aquel conjunto, cuyos elementos son también conjuntos. Si un conjunto tiene algunos elementos que son conjuntos y otros que no lo son; éste conjunto no es una familia de conjuntos.
Ejemplo.
Si es una familia de conjuntos, porque todos sus elementos son conjuntos.
No es una familia de conjuntos, porque tiene un elemento que no es conjunto.
CONJUNTO POTENCIA.
Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado, si el conjunto dado es A, el Conjunto Potencia de A se denota por P(A) y; y se lee P de A.
Ejemplo.
Si A={5}
Los subconjuntos que se forman son:
El número de subconjuntos del conjunto: A={5}, se obtiene:
Si B={5, 2, 7}
Los subconjuntos que se forman son:
El número de subconjuntos del conjunto: B={5, 2, 7}, se obtiene:
Por Inducción Matemática:
Si el conjunto "A" tiene 1 elemento:
Si el conjunto "A" tiene 2 elementos:
Si el conjunto "A" tiene 3 elementos:
Si el conjunto "A" tiene n elementos:
OPERACIONES CON CONJUNTOS
En teoría de los conjuntos existen cuatro operaciones básicas: la unión, intersección, complemento y diferencia. Estas operaciones se obtienen utilizando otros conjuntos diferentes al conjunto que se obtiene como resultado de la operación.
UNIÓN DE CONJUNTOS.
Cuando se unen dos conjuntos A y B, da como resultado un tercer conjunto $A\cup B$, y esta formado por todos los elementos que pertenecen a A, a B, o a ambos conjuntos. La expresión $A\cup B$ se lee A unión B.
La unión del conjunto A y el conjunto B se define como el conjunto de todas las x tales que todas las x pertenecen a A o tales pertenecen a B o a ambos.
La palabra o es clave para recordar la operación de unión en teoría de conjuntos y su interpretación es en sentido inclusivo del uso matemático de la conjunción.
Ejemplo.
Encontrar la unión del conjunto A y del conjunto B.
A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5, 7}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
PROPIEDADES.
a) La operación de la unión de conjuntos es conmutativa
b) Para cualquier conjunto A que se une consigo mismo, el resultado siempre será igual al conjunto A.
c) La unión del conjunto A con el conjunto universal U es igual al conjunto universal.
d) La unión del conjunto A y $\varnothing $ es igual al conjunto A.
e) La unión de un conjunto A con su complemento $\overline{A}$ es igual al conjunto universal U.
f) La unión de los sucesos A, B y C es igual a:
Entonces la operación de unión de conjuntos es asociativa.
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.
Cuando se intersectan dos conjuntos A y B, da como resultado un tercer conjunto $A\cap B$ y está formado por todos los elementos que pertenecen a A y B (a ambos) conjuntos. La expresión $A\cap B$ se lee A intersección B.
La intersección del conjunto A y el conjunto B se define como el conjunto de todas las x tales que todas las x pertenecen A y B.
La palabra y es clave para recordar la operación de intersección en teoría de conjuntos y su interpretación es en sentido inclusivo del uso matemático de la conjunción.
Ejemplo.
A ={1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5, 7}
A ∩ B = {2, 3}
PROPIEDADES
a) La operación de la intersección de conjuntos es conmutativa.
b) Para cualquier conjunto A que se intersecta con sí mismo, siempre será igual al conjunto A.
c) La intersección del conjunto A con el conjunto universal U es igual al conjunto A.
d) La intersección del conjunto A y $\varnothing $ es igual al conjunto vacío.
e) La intersección de un conjunto A con su complemento $\overline{A}$ es igual al conjunto vacío.
f) La intersección de los conjuntos A, B y C, es:
Entonces la operación de intersección de conjuntos es asociativa
g) La intersección y unión de los conjuntos A, B y C, es:
Entonces la operación de intersección y unión de conjuntos es asociativa.
DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS.
La diferencia entre dos conjuntos A y B, da como resultado un tercer conjunto, formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se simboliza A - B y se lee “A diferencia con B”.
Ejemplo.
Encontrar la diferencia del conjunto A y del conjunto B
A ={1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5, 7}
A - B = {1, 4}
B - A = {5, 7}
PROPIEDADES
- La operación de diferencia no es conmutativa.
- Sean las expresiones A - B = {x / x ∈ A y x ∉ B} y B - A={x / x ∈ A y x ∉ B} las que definen
a la diferencia, por lo que se deduce fácilmente lo siguiente:
- Si A es un subconjunto de B y no hay elementos de A que estén incluidos en B, entonces al
conjunto A – B carece de elementos, y se denota como:
- Si los conjuntos son mutuamente excluyentes (no tienen elementos en común), la
intersección de dos de cualesquiera de ellos da como resultado el conjunto vacío.
Sean los conjuntos:
DIFERENCIA SIMÉTRICA.
Dado los conjuntos A y B definimos el complemento diferencia de A y B, denotada por $A\triangle B$ , al conjunto: $(A-B)\cup (B-A)$.
Es decir.
Se lee: La diferencia simétrica de A y B
Ejemplo.
A = {1, 3, 5, 6} y B = {3, 5, 7, 8}
A - B = {1, 6}
Si U es un conjunto y dentro de U, existe un conjunto A con todos sus elementos, pero además hay elementos que no pertenecen al conjunto A, al conjunto que se forma con estos últimos se les llama elementos del conjunto complemento de A y se simboliza por $\overline{A}\,\, o\,\, {A}'\,\, o\,\, A^{c}\, \, o\,\, \sim A$, en otras palabras el conjunto complemento $\overline{A}$ está formado por todos los elementos del conjunto universal que no están incluidos en el conjunto A.
Ejemplo:
Por definición el complemento de A es el conjunto de elementos x que pertenecen a U pero no pertenecen a A.
Sea U el conjunto de los números dígitos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}
$A=\left \{ 1,2,3 \right \}\, \, entonces\, \, \overline{A}=\left \{ 4,5,6,7,8,9,0 \right \}$
PROPIEDADES
- El complemento del conjunto universal U es el conjunto vacío $\varnothing $
- El complemento del conjunto vacío $\varnothing $ es el conjunto universal U
- Sea $\overline{A}$ el complemento del conjunto A, y $(\overline{A})^{c}$ su complemento.
El complemento de A está formado por todos los elementos de U que no le pertenecen A, entonces el complemento de $\overline{A}$ está formado por todos los elementos de U que no están en $\overline{A}$ y estos son exactamente los elementos del conjunto A.
Esta propiedad se interpreta en el sentido de que la operación de complementación es su propia inversa.
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