NÚMEROS COMPLEJOS

Un número de la forma a + bi, donde a y b son números reales, se denomina número complejo. El número real a se denomina parte real del número complejo a + bi, el número b se denomina la parte imaginaria del número complejo.

Definición de un número complejo

Si a y b son números reales, el número a + bi es un número complejo, y se dice que está escrito en la forma estándar, si b = 0, el número a + bi = a es un número real. Si $b\neq 0$, el número a + bi se denomina número imaginario. Un número de la forma bi, donde $b\neq 0$, se denomina número imaginario puro.

Un número no puede ser real e imaginario a la vez. Por ejemplo, los números $\left ( -2\, ,\, 0\, ,1\, ,\frac{1}{2}\, ,\sqrt{2} \right )$ son número reales (pero no son números imaginarios), y los números -3i, 2 + 4i, y -1 + i son números imaginarios (pero no reales). El siguiente diagrama ilustra mejor las relaciones entre los números reales, complejos e imaginarios.

La unidad de los números imaginarios

Es $\sqrt{-1}$ y se representa, en general, por la letra i. muchas de las propiedades de los números reales son válidas también en los números imaginarios.

Por ejemplo

También como $i=\sqrt{-1}$ tenemos:

Y análogamente para cualquier potencia entera de i.

Nota. Se debe tener mucho cuidado al aplicar algunas de las propiedades de los números reales.

Por ejemplo, se puede pensar que

Para salvar tales dificultades, expresemos siempre $\sqrt{-m}$, siendo m un número positivo, por $\sqrt{m}\, i$; siendo $i^{2}=-1$, así pues,

Conjugado de un número complejo

a + bi es a – bi, y recíprocamente.

Por ejemplo.

5 – 2i y 5 + 2i son conjugados

Operaciones algebraicas con números complejos

1) Para sumar dos números complejos se suman, por una parte, las partes reales y, por otra, las imaginarias. por ejemplo.

    (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

    (5 + 3i) + (6 + 4i) = (5 + 6) + (3 + 4)i = 11 + 7i

    (-7 + 5i) + (2 - 3i) = (-7 + 2) + (5 - 3)i = -5 + 2i 

2) Para restar dos números complejos se restan, por una parte, las partes reales y, por otra, las imaginarias. por ejemplo.

    (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

    (3 + 2i) - (5 - 3i) = (3 - 5) + (2 + 3)i = -2 + 5i

    (-1 + i) - (-3 + 2i) = (-1 + 3) + (1 - 2)i = 2 - i 

3) Para multiplicar dos números complejos se efectúa la operación como si se tratase de dos binomios sustituyendo $i^{2}$ por -1. por ejemplo.

     (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i

     (5 + 3i)(2 - 3i) = 10 - 15i + 6i - 9i² = 10 - 11i - 9(-1) = 19 - 11i

4) Para dividir dos números complejos se multiplica el numerador por el conjugado del denominador y se sustituye $i^{2}$ por -1. por ejemplo.

Forma polar de los números complejos

Representación gráfica de los números complejos

Empleando un sistema de coordenadas rectangular, el numero complejo x + yi se representa por, o se corresponde con, el punto cuyas coordenadas son (x , y). Por ejemplo.

1) Para representar el número -2 + 3i, se llevan 2 unidades sobre el X’X hacia la izquierda de 0 y, luego, 3 unidades hacia arriba.

2) Para representar el número 3 + 4i, se llevan 3 unidades sobre el X’X hacia la derecha de 0 y, acto seguido, 4 unidades hacia arriba.

3) Para representar el número -1 - 4i, se lleva 1 unidad sobre el X’X hacia la izquierda de 0 y, a continuación, 4 unidades hacia abajo.

4) Para representar el número 2 - 4i, se llevan 2 unidad sobre el X’X hacia la derecha de 0 y, luego, 4 unidades hacia abajo.

Los números imaginarios puros (como son 2i, -2i), vienen representados por los puntos del eje Y’Y.  Los números (como son 4, -3) son los puntos del eje X’X.

Forma polar de los números complejos

En la figura

Por lo tanto,

La expresión $r(cos\theta +isen\theta )$ es la forma polar, y x + yi es la forma binómica del mismo número complejo.

La longitud $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ es siempre positiva y se llama modulo o valor absoluto, del número complejo.
El Ángulo $\theta $ se llama amplitud o argumento.

Multiplicación de números complejos escritos en forma polar

El módulo del producto de los números complejos es el producto de sus módulos y el argumento es la suma de sus argumentos.

Ejemplo

División de números complejos escritos en forma polar

El módulo del cociente de los números complejos es igual al cociente de los módulos y el argumento es igual a la diferencia de los argumentos del dividendo y divisor.

Ejemplo

Formula de MOIVRE

La potencia enésima $r(cos\theta +isen\theta )$ es $\left [ r(cos\theta +isen\theta ) \right ]^{n}=r^{n}(cos\theta +isen\theta )$

Esta relación es la fórmula de MOIVRE y se verifica para todo valor real del exponente. Por ejemplo, si el exponente es una fracción 1/n.

Raíces de un número complejo en forma polar

Si k es un entero cualquiera,

Luego

Un número cualquiera (real o complejo), excepto el cero, tiene n raíces enésimas distintas.

Las n raíces enésimas de un numero complejo x + yi, o bien $r(cos\theta +isen\theta )$, se obtiene dando a k valores sucesivos 0, 1, 2, 3,……………, n – 1, en la formula anterior.

Ejemplos

Efectuar algebraicamente y gráficamente las operaciones indicadas:

a) (2 + 6i) + (5 + 3i)

b) (-4 + 2i) – (3 + 5i)

Algebraicamente.

(2 + 6i) + (5 + 3i) = (2 + 5) + (6 + 3)i = 7 + 9i

Gráficamente

Representamos los dos números complejos por los puntos $P_{1}$ y $P_{2}$, respectivamente, como indica la figura. Uniendo $P_{1}$ y $P_{2}$ con el origen O y completando el paralelogramo de lados adyacentes $OP_{1}$ y $OP_{2}$, el vértice P (punto 7 + 9i) representa la suma de los números complejos dados.

Algebraicamente

(-4 + 2i) – (3 + 5i) = (-4 – 3) + (2 – 5)i = -7 – 3i

Gráficamente

Representamos los dos números complejos (-4 + 2i) y (-3 - 5i) por los puntos $P_{1}$ y $P_{2}$, respectivamente, como indica la figura. Uniendo $P_{1}$ y $P_{2}$ con el origen O y completando el paralelogramo de lados adyacentes $OP_{1}$ y $OP_{2}$, el vértice P (punto -7 - 3i) representa la diferencia (-4 + 2i) – (3 + 5i).

Hallar la forma polar del número complejo siguiente:

a) 2 + 2i

Amplitud o argumento

Módulo o valor absoluto

Luego