ECUACIONES Y DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

Muchas aplicaciones importantes de inecuaciones incluyen también valores absolutos.
Considere la ecuación con valor absoluto

Las únicas soluciones de esta ecuación son – 3 y 3, ya que son los únicos números reales cuya distancia desde cero es 3, como se ve en la siguiente figura.

En otras palabras la ecuación de un valor absoluto tiene exactamente dos soluciones.

Resolución de una ecuación con valor absoluto

Sea $x$ una variable o expresión algebraica, y sea a un número real tal que $x\geq 0$. La solución de la ecuación |x|=a, a están dadas por X = -a y X = a. esto es.

La estrategia para resolver ecuaciones con valor absoluto es volver a escribir la ecuación en formas equivalentes. Esta es una estrategia común en matemáticas. Esto es, cuando usted encuentre un nuevo tipo de problema, inténtelo volverlo a escribir de manera que pueda resolverlo con las técnicas que ya conoce.

Ejemplos

Resuelva

Solución

Las soluciones son $-\frac{14}{3}$ y 2. Cuando resuelva ecuaciones con valor absoluto, recuerde que es posible que no tengan solución. Por ejemplo la ecuación.

|3x+4|=-10

No tiene solución, ya que el valor absoluto de un número real no puede ser negativo. No cometa el error de intentar resolver una ecuación semejante a está escribiendo las ecuaciones lineales “equivalentes”, como 3x + 4 = -10 y 3x + 4 = 10.

Resuelva

Solución

Las soluciones son -2 y 3.

Resolución de desigualdades que involucran valor absoluto

Para saber cómo resolver desigualdades que involucran valor absoluto, considere las siguientes comparaciones:

Estas comparaciones sugieren la siguiente regla para resolver desigualdades que involucran valor absoluto.

Sea X una variable o una expresión algebraica, y sea a un número real tal que a<0.

1. Las soluciones de |x|<a son todos los valores de X que estén entre – a y a. esto es.

2. Las soluciones |x|>a de son todos los valores de X menores que – a o mayores que a. esto es.

Estas reglas son válidas también si se remplaza el signo de:

Ejemplos

Resuelva

Solución

El conjunto solución consta de todos los números reales mayores que 3 y menores que 7. La notación de intervalo para este conjunto solución es (3 , 7) y la figura como la siguiente.

Resuelva

Solución

El conjunto solución consta de todos los números reales menores que o iguales a $-\frac{1}{3}$ o mayores que o iguales a 3. La notación de intervalo para este conjunto solución es $\left ( -\infty ,-\frac{1}{3}]\cup [ 3,\infty \right )$. El símbolo U se denomina un símbolo de unión, y sirve para indicar la combinación de dos conjuntos. Y el gráfico es el siguiente.