SOLUCIONES MATEMÁTICAS COESMAR: LÓGICA PROPOSICIONAL

INTRODUCCIÓN

La lógica estudia la forma de razonamiento. Es una disciplina que se utiliza para determinar si un argumento es válido, tiene aplicación en todos los campos del saber; en la filosofía, para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones; sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. Los matemáticos usan la lógica, para demostrar teoremas e inferir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones.

En la computación, para revisar programas y crear sus algoritmos, es utilizada en el diseño de computadoras. Existen circuitos integrados que realizan operaciones lógicas con los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunicaciones (telefonía móvil, internet, ...)

DEFINICIONES BÁSICAS

Término: Cada parte que constituye un enunciado o discurso. Sinónimo de palabra o colección de palabras.

Término categoremático: Término que tiene significado propio e independiente.

Término sincategoremático: Término que no tiene significado propio y se utiliza para modificar o enlazar términos categoremáticos.

Proposición lógica: Agrupación de términos de la que se puede afirmar si su contenido es falso o verdadero. Pueden ser atómicas o moleculares.

Proposición atómica: Proposición que no puede descomponerse en partes que sean a su vez proposiciones.

Proposición molecular: Proposición formada por una o varias proposiciones atómicas enlazadas por términos sincategoremáticos.

Conectores proposicionales: Términos sincategoremáticos que se usan para modificar o enlazar proposiciones.

Conectores monádicos: Se aplican a una sola proposición ej: negación.

Conectores diádicos: Se aplican a dos proposiciones.

Ejemplo: conjunción (y), disyunción (o), disyunción exclusiva (o…o…), condicional (si…entonces), bicondicional (si y solo si).

Simbolizaciones: Proposiciones atómicas se simbolizan por letras minúsculas comenzando por la p : p. q, r, s.

Variable proposicional: Símbolo que sustituye a una proposición atómica.

Conectivo u operador lógico: símbolo del conector proposicional.

Fórmula lógica: Expresión simbólica que sustituye a una proposición molecular.

Valorar o hallar valor lógico de una proposición: averiguar la falsedad o veracidad de la misma. $V\Leftrightarrow verdad\Leftrightarrow 1,F\Leftrightarrow falso\Leftrightarrow 0$

Álgebra de proposiciones: Construcción de fórmulas lógicas y estudio de su veracidad o falsedad así como de sus propiedades.

AXIOMAS DEL ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

Axioma 1: Toda proposición es verdadera o falsa, es decir, toma valores 1 o 0.

Axioma 2: Una fórmula lógica representa una proposición cuyo valor de verdad o falsedad depende de los conectores y los valores de verdad o falsedad de las variables proposicionales que la contienen.

Axioma 3: Los valores de verdad o falsedad de las fórmulas lógicas se establecen en tablas llamadas Tablas de verdad.

Operación lógica: Cuando modificamos o enlazamos una o varias proposiciones mediante conectores obteniendo una nueva proposición.

TABLAS DE VERDAD

Representación de todas las combinaciones posibles de falsedad o veracidad de una proposición atómica o molecular. Contiene $2^{n}$ filas, siendo n la cantidad de variables de la proposición molecular.

Ejemplos de tablas de verdad:

n=1

n=2

n=3

n=4

OPERADORES LÓGICOS

La validez de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen y se determina mediante una tabla de verdad.

Negación: Afecta a una sola proposición. Es un operador monádico que cambia el valor de verdad de una proposición: Dada una proposición p su contraria no p es verdadera cuando aquella es falsa y se simboliza $\sim p$ .

Conjunción o producto lógico: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "y". Dadas dos proposiciones p, q , el producto lógico es la proposición molecular p y q que se simboliza $\left ( p\wedge q \right )$ .

Disyunción o suma lógica: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "o". Dadas dos proposiciones p, q , la suma lógica es la proposición molecular p o q que se simboliza

$\left ( p\vee q \right )$ .

Disyunción exclusiva: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: "o ..........., o ............." Dadas dos proposiciones p, q , la disyunción exclusiva es la proposición molecular que se simboliza $\left ( p\bigtriangleup q \right )$ .

Condicional: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico : "Si ............, entonces .............." Dadas dos proposiciones p, q , el condicional es la proposición molecular si p entonces q que se simboliza $\left ( p\rightarrow q \right )$ .

Bicondicional: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: ".............. si y sólo si .............." Dadas dos proposiciones p, q , el bicondicional es la proposición molecular p si y solo si q que se simboliza $\left ( p\leftrightarrow q \right )$

IMPORTANTE:

Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos se dice que el esquema molecular es tautológico.
Se dirá que el esquema molecular es contradictorio si los valores del operador principal son todos falsos.
Si los valores del operador principal tiene por lo menos una verdad y una falsedad se dice que es contingente o consistente.

LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir esquemas moleculares complejos y expresarlos en forma más sencilla. Las demostraciones de dichas leyes se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso.

Principales Leyes:

Ley de Idempotencia:

$p\vee p\equiv p$

$p\wedge p\equiv p$

Ley Conmutativa:

$p\vee q\equiv q\vee p$

$p\wedge q\equiv q\wedge p$

Ley Asociativa:

$(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$

$(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$

Ley Distributiva:

$p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$

$p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$

Ley de la Doble Negación:

$\sim (\sim p)\equiv p$

Leyes de Identidad:

$p\vee V\equiv V\, \, \, ;\, \, \, p\vee F\equiv p$

$p\wedge V\equiv p\, \, \, ;\, \, \, p\wedge F\equiv F$

Leyes del Complemento:

$p \, \vee \sim p\equiv V$

$p \, \wedge \sim p\equiv F$

Ley del Condicional:

$p \rightarrow q\equiv \sim p\vee q$

Ley de la Bicondicional:

$p \leftrightarrow q\equiv (p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow p)$

$p \leftrightarrow q\equiv (p\wedge q)\vee (\sim p \, \wedge \sim q)$

$p \leftrightarrow q\equiv \, \sim (p\bigtriangleup q)$

Ley de Absorción:

$p \vee (p\wedge q) \equiv \, p$

$p \wedge (p\vee q) \equiv \, p$

$p\vee (\sim p\wedge q) \equiv \, p\vee q$

$p\wedge (\sim p\vee q) \equiv \, p\wedge q$

Leyes de "De Morgan":

$\sim (p\vee q) \equiv \, \sim p\, \wedge \sim q$

$\sim (p\wedge q) \equiv \, \sim p\,\vee \sim q$

CUANTIFICADORES:

Cuantificador Universal: Sea la función proposicional $f_{(x)}$ sobre un conjunto A, el cuantificador $\forall$ ("para todo") indica que todos los valores del conjunto A hacen que la función proposicional $f_{(x)}$ sea verdadera.

$\forall$ se lee : "Para todo"

Ejemplo:

Sea : $f_{(x)}:x^{3}+2>5$ donde x $\in$ N

La proposición cuantificada es :

$\forall$ x $\in$ N; $x^{3}+2>5$ es falsa

Cuantificador Existencial: Sea $f_{(x)}$ una función proposicional sobre un conjunto A el cuantificador $\exists$ (existe algún) indica que para algún valor del conjunto A, la función proposicional $f_{(x)}$ es verdadera.

$\exists$ se lee: "Existe algún"

Ejemplo: Sea $f_{(x)}:x^{2}-5<8$ , donde: $x\in Z^{+}$ , la proposición:

$\exists \, x\in Z^{+}/x^{2}-5<8$ es verdadera.

CIRCUITOS LÓGICOS

Un circuito conmutador puede estar solamente en dos estados estables : cerrado o abierto, así como una proposición puede ser verdadera o falsa, entonces podemos representar una proposición utilizando un circuito lógico:

Circuito Serie: Dos interruptores conectados en serie representan una conjunción.

Circuito Paralelo: Dos interruptores conectados en paralelo representan una disyunción.

LÓGICA BINARIA

La lógica binaria trata con variables que toman 2 valores discretos y con operaciones que asumen significado lógico, para este propósito es conveniente asignar los valores de 1 y 0.