INTRODUCCIÓN
Cuando decimos:
"3 + 7 es igual a 10"
"x es menor que 9"
"28 es divisible por 7"
"4 es la raíz cuadrada de 16"
Estamos señalando o expresando RELACIONES de comparación, entre los elementos de un conjunto de números.
Cada caso es un par ordenado que obedece ciertas condiciones. Las condiciones que debe cumplirse para relacionar dos elementos deben ser muy claras y precisas. Sin par ordenado no existe relación.
Ejemplos:
i) Sean los conjuntos A y B:
A = {3, 4, 5} ; B={1,3,5,7}
El producto cartesiano de estos conjuntos es:
A . B ={(3; 1), (3; 3), (3; 5), (3; 7), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (4; 7), (5; 1), (5; 3), (5; 5), (5; 7)}
Establezcamos condiciones para relacionar pares de este conjunto. Se formará subconjuntos con las características precisas siguientes:
Caso 1:
Que los primeros elementos sean iguales a los segundos. De este modo: (3; 3) Y (5; 5) son dos pares ordenados que configuran una relación "R" de pares ordenados cuyos elementos son iguales y están incluidos en el producto A . B; es decir, forman un subconjunto del producto A . B. Luego,
R = {(3; 3) ,(5; 5)} es una relación de A en B.
Caso2:
Que los primeros elementos sean mayores que los segundos. De la misma forma: (3; 1), (4; 1), (4; 3), (5; 1), (5; 3) son 5 pares ordenados que cumplen 0 configuran otra relación "R", con las características señaladas: primer elemento es mayor que el segundo y están incluidos en el producto cartesiano A . B, formando el subconjunto:
R = {(3; 1), (4; 1), (4; 3), (5; 1), (5; 3)}
que es una relación de A en B.
Caso3:
Que los primeros elementos sean menores que los segundos 10 cual cumplen: (3; 5), (3; 7), (4; 5), (4; 7), (5; 7) que son 5 pares ordenados, también configuran una relación "R" y forman un subconjunto que esta incluido en el conjunto del producto cartesiano A . B
R = {(3; 5), (3; 7), (4; 5), (4; 7), (5; 7)}
que es una relación de A en B.
ii) Un estudiante de Biología, a fin de investigar la RELACIÓN entre el aumento de peso y la edad de los pavos, pesa un pavo cada mes, desde el momento en que nace hasta que adquiere un máximo desarrollo.
La tabla que sigue indica las edades, en meses, y los pesos aproximados correspondientes a esas edades, expresado en kilogramos
La tabla indica un conjunto de "parejas ordenadas" de números, el primero de los cuales es la edad y el segundo el peso; habiéndose formado una relación ordenada entre los dos números de cada pareja.
DEFINICIÓN DE RELACIÓN
Se llama RELACIÓN a cualquier subconjunto de parejas ordenadas formadas par los elementos de dos conjuntos A y B. También: se llama RELACIÓN de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano A . B.
NOTACIÓN
Dados dos conjuntos A y B, la relación de un elemento "a" del conjunto A con un elemento "b" del conjunto B, se denota así:
a R b o (a, b) $\in $ R
Que se lee: "a está relacionada con b".
Puesto que las relaciones vinculan elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B, formando pares ordenados, la RELACIÓN también puede escribirse simbólicamente de la siguiente manera:
R es una relación de A en B $\Leftrightarrow$ R $\subset $ A. B
Es decir "R es una relación de A en B, si y solamente si la relación mes un subconjunto de A . B"
Nótese que si R es una relación de A en A, se dice que mesta definida en A.
El experimento del estudiante de Biología, visto anteriormente, consta de 10 pares ordenados, representando la relación R contenida en el conjunto: A (edad) . B (peso):
R={(0; 0,1); (1; 0,6); (2; 2,1); (3; 4,0); (4; 6,2); (5; 8,4); (6; 10,6); (7; 12,7); (8; 14,6), (9; 14,8)}
Este conjunto de pares ordenados se puede graficar en un Sistema de Ejes Coordenados; de esta manera, se representa en la línea horizontal las edades (elementos del conjunto A) yen la línea vertical los pesos (elementos del conjunto B). Cada una de las parejas es un punto en el grafico y un par ordenado, al mismo tiempo.
DOMINIO Y RANGO
DOMINIO es el conjunto formado por los primeros componentes de los pares ordenados que forman la relación R y se denota: Dom (R).
En el ejemplo sobre el estudiante de Biología:
Dom (R) = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
RANGO es el conjunto formado par los segundos componentes de los pares ordenados que forman la relación m, y se denota: Ran (R).
En el ejemplo del estudiante de Biología:
Ran (R) = {0,1; 0,6; 2,1; 4,0; 6,2; 8,4; 10,6; 12,7; 14,6; 14,8}
Ejemplo: Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3} Y B = {1; 2; 3; 4}
Graficar en un sistema de ejes coordenados los pares (0;1), (3;2) y (0;4), pertenecientes a A . B, Y hallar su dominio y rango.
Solución:
Se trata de la relación: R = {(1; 1), (3; 2), (1; 4)}
El grafico es el siguiente:
El dominio es el conjunto de los primeros elementos de cada par, y el rango es el conjunto de los segundos elementos de cada par en la relación R. Por lo tanto:
Dom (R) = {1; 3}
Ran (R) = {1; 2; 4}
DIAGRAMA SAGITAL
Es una representación de la relación R el diagrama de Venn, uniendo los pares ordenados mediante flechas.
Ejemplos:
i) Sean los conjuntos:
A={1;2} Y B={a, b, c}
Considerando una relación de A en B, tal como:
R = {(1, a); (2, b); (2, c)}
Su diagrama sagital será:
Donde: Dom = {1; 2} y Ran = {a, b, c}
ii) Sea el conjunto:
A = {a, e, i, b, c, d}
Si se define en el conjunto A, la relación: " El primer componente una vocal fuerte y el segundo componente una consonante", entonces:
R = {( a,b), (a,c), (a,d), (e,b ), (e,c), (e,d)}
El diagrama sagital correspondiente es, simplemente:
PROPIEDADES DE LA RELACIÓN DE ELEMENTOS EN UN CONJUNTO
Hay cuatro tipos de relación entre los elementos de un mismo conjunto: Reflexiva, Simétrica, Transitiva y de Equivalencia (esta última engloba a las anteriores).
PROPIEDAD REFLEXIVA
"R es un relación reflexiva si todos los elementos del conjunto A están relacionados consigo mismo, a través de R".
Simbólicamente, se denota así:
R es reflexiva $\Leftrightarrow $ (a, a) $\in $ R $\forall $ a $\in $ A
Ejemplos:
i) Sea el conjunto: A = {1; 2; 3; 4}
Si la relación está expresada por:
R = {(1; 1 ), (2; 2), (3; 3), (4; 4)}
El diagrama sagital correspondiente es:
ii) Decir si la relación R es o no reflexiva.
R = {( a,a); (b, b); (c,d)}
Esta relación no es reflexiva, porque el par ordenado (c,d) no cumple la relación: "consigo mismo".
iii) Sea el conjunto:
A = { Marcelo, Luis y Ramiro}
una relación en A, definida por "le gusta jugar consigo mismo". Entonces, la relación corresponde al siguiente conjunto:
R = {(Marcelo, Marcelo), (Luis, Luis), (Ramiro, Ramiro)}
Que se puede graficar en un diagrama sagital como sigue:
PROPIEDAD SIMÉTRICA
"R es una relación Simétrica si siempre que un elemento del conjunto A está relacionado con otro del mismo conjunto a través de R, este último, a su vez, está relacionado con el primero a través de R".
Simbólicamente se denota así:
R es simétrica $\Leftrightarrow$ ( a, b ) $\in $ R $\wedge $ (a , b) $\in $ R
Ejemplos:
i) Sea el conjunto: A = { 1; 2; 3; 4 } y la siguiente relación simétrica:
R = {( 1; 2), (2; 1 ), (1; 4), (4; 1 )}
Que puede ser representada en el plano de ejes coordenados como sigue:
La relación R también se puede graficar sagitalmente como:
Por otro lado la relación:
R ={(1;2), (2;1), (3;2)}
No es simétrica porque: (3; 2) $\in $ R pero (2; 3) $\notin$ R.
ii) Sea el conjunto: A = {Pedro, Juan, Andrés}
Se ha establecido una relación de simetría $R_{1}$ en A, definida por "viven en el mismo barrio"
$R_{1}$ = {(Pedro, Juan), (Juan, Pedro), (Pedro, Andrés), (Andrés, Pedro), (Juan, Andrés), (Andrés, Juan)}
Es decir, Pedro "vive en el mismo barrio que" Juan, entonces Juan "vive en el mismo barrio que" Pedro; Pedro "vive en el mismo barrio que "Andrés, luego Andrés "vive en el mismo barrio que" Pedro; Juan vive en el mismo barrio que "Andrés, luego Andrés "vive en el mismo barrio que" Juan.
En un diagrama sagital:
PROPIEDAD TRANSITIVA
"R es una relación transitiva cuando siempre que un elemento del conjunto A esta a su vez relacionado con otro, y este esta relacionado con un tercero, entonces el primero esta relacionado con el tercero, a través de R".
Simbólicamente, se denota así:
R (a, b) $\in $ R $\wedge $ (b, c) $\in $ R $\Rightarrow $ (a, c) $\in $ R
Ejemplos:
i) Sea el conjunto A = {l; 2; 3; 4}
Y una relación en A definida como: "es mayor que". Entonces
$R_{1}$ = {( 3; 2), ( 2; 1 ), (3; 1 )}
En el diagrama sagital:
Nótese que el elemento "3" está relacionado con el elemento "1" de dos maneras; una directa y otra, indirecta.
Sin embargo la relación:
$R_{2}$ = {(4; 2), (2; 1), (4; 1), (3; 4)}
No es transitiva, porque el par ordenado (3; 4) (imag) $R_{2}$, (4; 2) $\in $ $R_{2}$, pero (3; 2) $\notin $ $R_{2}$.
ii) Sea el conjunto: A = {Mario, Carlos, Juan} Y, una relación transitiva en A, definida como: "juega por el mismo equipo que".
R = {(Mario, Carlos), (Carlos, Juan), (Mario, Juan)}
Que, en el diagrama sagital se gráfica como sigue:
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
R de A en A es una relación de Equivalencia cuando es reflexiva, simétrica y transitiva simultáneamente.
Ejemplo:
Sea: R = {Pedro, Juan, Andrés}; pasajeros de un avión. Se cumple que R:
1) Es reflexiva porque cada uno paga su pasaje.
2) Es simétrica porque "Pedro "viaja en el mismo avión que "Juan" y "Juan" viaja en el mismo avión que "Pedro".
3) Es transitiva, porque si Pedro viaja con Juan y Juan viaja con Andrés; entonces, Pedro viaja con Andrés.
NOTA:
- La igualdad de números naturales cumple una relaci6n de equivalencia.
- La congruencia de triángulos mantiene una relación de equivalencia.
- La relación "menor" para números naturales no tiene una relación de equivalencia; no es reflexiva ni simétrica.
- La relación "amigo de" no tiene una relación de equivalencia; no es "rigurosamente" transitiva (Los amigos de mis amigos no necesariamente son mis amigos).
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Hallar el dominio y rango de las relaciones en A
A = {1; 2; 3; 4; 5}
$R_{1}$ = {( x, y ) $\in $ A. A / x + Y = 7 }
$R_{2}$ = {( x, y ) $\in $ A. A / x + Y " 4 }
Solución:
$R_{1}$ = {(2; 5), (3; 4), (5; 2), (4; 3)}
$R_{2}$ = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1) ((2; 2), (3; 1)}
Respuesta:
Dam $\left ( R_{1} \right )$ = {2; 3; 4; 5} y Ran $\left ( R_{1} \right )$ = { 2; 3; 4; 5}
Dam $\left ( R_{2} \right )$ = {1; 2; 3} y Ran $\left ( R_{2} \right )$ = {1; 2; 3}
2) Dado el conjunto:
A = {1; 2; 3; 4}
Y las relaciones:
$R_{1}$ = {(1; 1), (1; 2), (4; 3), (2; 2), (3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2)}
$R_{1}$ = {(1; 1), (2; 1), (2; 2), (3; 3), (1; 2), (1; 3)}
Establecer si son o no transitivas.
Solución:
En $R_{1}$ tenemos:
(1;1) $\in \, R_{1}\,\wedge $ A (1;2) $R_{1}\Rightarrow $ (1;2) $\in \, R_{1}$
(1;2) $\in \, R_{1}\,\wedge$ A (2;2) $R_{1}\Rightarrow $ (1;2) $\in \, R_{1}$
(4;3) $\in \, R_{1}\,\wedge$ A (3;1) $R_{1}\Rightarrow $ (4;1) $\in \, R_{1}$
(3;1) $\in \, R_{1}\,\wedge$ A (1;1) $R_{1}\Rightarrow $ (3;1) $\in \, R_{1}$
(3;1) $\in \, R_{1}\,\wedge$ A (1;2) $R_{1}\Rightarrow $ (3;2) $\in \, R_{1}$
(4;1) $\in \, R_{1}\,\wedge$ A (1;1) $R_{1}\Rightarrow $ (4;1) $\in \, R_{1}$
(4;1) $\in \, R_{1}\,\wedge$ A (1;2) $R_{1}\Rightarrow $ (4;2) $\in \, R_{1}$
(4;2) $\in \, R_{1}\,\wedge$ A (2;2) $R_{1}\Rightarrow $ (4;2) $\in \, R_{1}$
(3;2) $\in \, R_{1}\,\wedge$ A (2;2) $R_{1}\Rightarrow $ (3;2) $\in \, R_{1}$
Respuesta: $R_{1}$ es transitiva.
En $ R_{2}$ tenemos:
(2,1) $\in \, R_{1}\,\wedge$ A (1;3) $R_{2}\Rightarrow $ pero (2;3) $\notin \, R_{2}$, por lo que no se cumple la propiedad transitiva.
Respuesta: $R_{2}$ no es transitiva.
3) Para el conjunto: A = {1; 3; 5}
definimos la relación:
R = {(1;1), (3;3), (5;5), (1;3), (3;l)}
verificar si es de equivalencia.
Solución:
En R notamos que:
a) Tiene entre sus elementos a todos los pares de la forma (x, x), donde x $\in$ A. Par lo tanto R es REFLEXIVA.
b) Tiene como elementos dos pares de la forma (x, y), (y, x); donde x $\in $ A $\wedge $ y $\in $ A. Par lo tanto, R es SIMÉTRICA.
c) R también es TRANSlTIVA, dado que:
(1;1) $\in $ R $\wedge$ (1;3) $\in $ R $\Rightarrow$ (1;3) $\in $ R
(3;3) $\in $ R $\wedge$ (3;1) $\in $ R $\Rightarrow$ (3;1) $\in $ R
(1;3) $\in $ R $\wedge$ (3;1) $\in $ R $\Rightarrow$ (1;1) $\in $ R
(3;1) $\in $ R $\wedge$ (1;1) $\in $ R $\Rightarrow$ (3;1) $\in $ R
(3;1) $\in $ R $\wedge$ (1;3) $\in $ R $\Rightarrow$ (3;3) $\in $ R
R es una relación de equivalencia.
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