LOGARITMOS

Logaritmo es un número en una base dada es el exponente a que debe elevarse la base para obtener el número dado. Así, si $a^{x}=N$, x es el logaritmo de N en la base a.

El logaritmo de N en base a se escribe usualmente $log_{a}N$, de manera que son equivalentes las dos ecuaciones siguientes.

         $a^{x}=N$;                  $x=log_{a}N $ 

Ejemplo

Cuando se sobre entiende que se está usando un sistema particular de logaritmos, se omite el subíndice que denota la base. Así, en cálculos aritméticos en que 10 es la base, escribimos usualmente log 2, log 3,….en vez de $log_{10}\, 2$, $log_{10}\, 3$,…

Cualquier número, excepto el 1, puede ser tomado como base de logaritmos y correspondiendo a una base tal que puede formar un sistema de logaritmos de todos los números.

El logaritmo de 1 es 0

Porque $a^{0}=1$ para todos los valores de a; por lo tanto, log 1=0, cualquiera que sea la base que se tome.

El logaritmo de la base es 1

Porque, $a^{1}=a$ por lo tanto, $log_{a}^{a}=1$      

Si $y=log_{b}\, X$ por la ecuación equivalente $X=b^{y}$, obtenemos una importante identidad:

Ejemplos

Si $f(x)=log_{b}\, X$ también es una función uno a uno. Así que

Ejemplo

Leyes de los logaritmos

Para cualquier par de números reales positivos M y N:

Ejemplo

Simplificar

Fórmula de cambio de base

Es posible expresar un logaritmo de base a en términos de logaritmos de base b, para ello supongamos que.

         $y=log_{a}\, X$, así que $X=a^{y}$

Tomando el logaritmo de base b de ambos lados de la última ecuación vemos que.

Pero ya que $y=log_{a}\, X$ obtenemos la fórmula de cambio de base.