DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La división es una operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto: Dados dos números llamados dividendo y divisor hallar un tercer número llamado cociente, que multiplicado por el divisor dé el dividendo.

El producto se llama Dividendo, el factor conocido Divisor, y el factor que se busca Cociente.

La operación se puede indicar de varias formas:

Cociente = $ \frac{Producto}{Factor}$ = $ \frac{Dividendo}{Divisor}$

El cociente de dos números es, pues el número por el cual se debe multiplicar el divisor para obtener un producto igual al dividendo.

Osea: 6 . 8 = 48    Cociente x Divisor = Dividendo

Se expresa la división por Dos Puntos colocados entre el dividendo y el divisor, que se leen

Divido Por o bien mediante una Rayita Horizontal encima de la cual se escribe el dividendo y debajo de ella el divisor.

Así el cociente de 63 por 7 se escribe:

63 : 7    ó bien $ \frac{63}{7}$    ;     que se lee 63 dividido o partido por 7

Observación : Así mismo al igual que en el conjunto de los números naturales la división por cero (0) no esta definida es decir, la división de un entero por 0 no existe.

$\frac{Numero}{0}$ = No existe    ;    $ \frac{7}{0}= \nexists$   

Recuerda que:

$\exists$ significa existe        ;        $\nexists$ significa no existe

REGLA DE LOS SIGNOS

La "Regla de los Signos" de la división se deduce de la "Regla de los Signos" de la multiplicación como sigue:

(+) : (+) = +    ;    12 : 2 = 6

(-) : (-) = +      ;    (-14): (-3) = 7

(+) : (-) = -      ;     24 : (-6) = - 4

(-) : ( +) = -     ;    (-35): 7 = - 5

Esto nos dice que el cociente de dos números del mismo signo es positivo y del signo contrario es negativo.

DIVISIÓN EXACTA: RELACIÓN ENTRE SUS ELEMENTO

• La división es Exacta cuando el resto es Cero.
• En una división exacta hay Siempre un número que multiplicado por el divisor, Da el Dividendo.
• En toda división exacta El Dividendo es Igual al Divisor por el Cociente.

• Las Equivalencias fundamentales de la división exacta son éstas:

D = d x c    $\Leftrightarrow$    D : d = c    $\Leftrightarrow$     D : c = d 

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN EXACTA

1) La división exacta tiene esta propiedad muy importante: si el dividendo y el divisor de una división exacta Se Multiplican o Se Dividen por un mismo número diferente de cero, El Cociente no Varía.

Ejemplo.

División inicial.

$\frac{48}{8}=6 $

Multiplico al dividendo y al divisor por 3, se obtiene.

$\frac{48\bullet 3}{8\bullet 3}=\frac{144}{24} =6$

el (6) no varia.

División inicial.

$\frac{48}{8}=6 $

Dividimos al dividendo y al divisor por 4, se obtiene.

$\frac{48:4}{8:4}=\frac{12}{2} =6$

el (6) no varia. 

2) Si al dividendo (D) lo multiplicamos o lo dividimos por cualquier número entero sin alterar el divisor, el cociente (C) también quedará multiplicado o dividido por dichos números enteros.

Ejemplo.

División inicial.

$\frac{54}{6}=9 $

Multiplico al dividendo por 2, se obtiene.

$\frac{54\bullet 2}{6}=\frac{108}{6} =18$

el (9) queda multiplicado por 2.

División inicial.

$\frac{54}{6}=9 $

Dividimos al dividendo por 3, se obtiene.

$\frac{54:3}{6}=\frac{18}{6} =3$

el (9) queda dividido por 3. 

3) Si al divisor lo multiplicamos o dividimos por un número, diferente de cero, sin alterar el dividendo, el cociente quedará dividido en el primer caso o multiplicado en el segundo caso por el mismo número.

Ejemplo.

División inicial.

$\frac{64}{16}=4 $

Multiplico el divisor por 2, se obtiene.

$\frac{64}{16\bullet 2}=\frac{64}{32} =2$

el (4) queda dividido por 2.

División inicial.

$\frac{64}{16}=4 $

Dividimos al divisor por 4, se obtiene.

$\frac{54}{16:4}=\frac{64}{4} =16$

el (4) queda multiplicado por 4. 

4) Propiedad Distributiva: El cociente de dividir una suma indicada de varios números enteros entre un divisor diferente de cero es igual a la suma de los cocientes de cada sumando entre el mismo divisor.

(a + b + c + d) : (e) = (a : e) + (b : e) + (c : e) + (d : e)

Ejemplos:

a) (12 + 8 + 16 ) : 4 = (12 : 4) + (8 : 4) + (16 : 4)

b) [24 + 12 + (-18)] : 6 = (24 : 6) + (12 : 6) + [(-1 8 ) : 6]

5) Propiedad del Elemento Neutro: Es el Uno como divisor. El cociente de dividir cualquier número entero entre Uno es el número entero.

N : 1 = N

Ejemplo.

8 : 1 = 8

6 ) Propiedad del Elemento Absorvente: Es el cero como dividendo. El cociente de dividir Cero entre cualquier número diferente de cero, siempre es cero.

0 : N = 0

Ejemplo.

0 : 6 = 0

Recomendación: La división en los enteros $\mathbb{Z}$

• No es Conmutativa.

(a : b) $\neq$ (b : a)

Ejemplo: 

(12 : 4) $\neq$ (4 : 12)

3 $\neq$ $\frac{1}{3} $

• No es Asociativa.

(a : b) : c $\neq$ a : (b : c)

Ejemplo: 

(16 : 8) : 4 $\neq$ 16 : (8 : 4)

2 : 4 $\neq$ 16 : 2

$\frac{1}{2}$ $\neq$ 8

DIVISIÓN INEXACTA O ENTERA

División Inexacta o Entera es cuando no hay un número que multiplicado por el divisor nos da el dividendo.

Veamos:

Como se observará ningún número entero verifica esta igualdad porque:

Como vez, el 7 es pequeño y el 8 es grande.

La expresión

lo indicaremos así:

Esta división ha sido Inexacta o Entera, porque ha quedado resto (residuo), que es 3.

Lo cuál lo podemos expresar así:

La operación que nos permite calcular los números que hay que colocar en el círculo y en el cuadrado, se llama División Entera.

Problema:

Tenemos 58 manzanas para colocarlas en montones de 9 manzanas cada uno. ¿Cuántos montones pueden formarse?

Resolución:

Se pueden hacer 6 montones de 9 manzanas y sobran 4.

Escribimos la división:

• En toda división inexacta o entera, el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, más el resto:

• En la división inexacta un Cociente por Defecto y un Resto por Defecto.

Ejemplo.

Si 37 lapiceros se reparten entre 9 alumnos, a cada uno sólo le puede corresponder 4 lapiceros y sobraría 1.

Esto lo expresamos así: 

D = d x c + r    (División inexacta por defecto)

• En la división inexacta hay también un Cociente por Exceso y un resto por Exceso.

Ejemplo.

Vamos a colocar 75 niños que quieran ir de excursión y alquilamos varios busetas. En cada buseta sólo pueden ir 12 niños. ¿Cuántos busetas se necesitan?

Te encuentras con que te sobran 3 niños, que también han de ir de excursión. Por tanto no se necesitan como parece 6 busetas. Si no 7 para que así vayan todos claro está que si son 7 busetas, quedarán 9 asistentes libres; Veamos:

D = d x c' + r'    (División inexacta por exceso)

En toda división Inexacta o Entera, el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente por exceso menos el resto por exceso.

• En toda división Inexacta, el resto ha de ser menor que el divisor:

r > d

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN ENTERA O INEXACTA

1) Si se multiplica el dividendo y el divisor por un mismo número diferente de cero, el cociente no varía, pero el resto queda multiplicado por ese mismo número.

Ejemplo:

División Inicial:

2) Si se dividen el dividendo y el divisor por un mismo número diferente de cero, el cociente no varia, pero el resto queda dividido por dicho número.

Ejemplo:

División Inicial: