MULTILICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

 MULTIPLICACIÓN DE DOS NÚMEROS ENTEROS

Representando a los números enteros en su forma abreviada, es decir, distinguiendo a los positivos de los negativos por el signo, los únicos casos que pueden presentar los signos de un producto son éstos:

3 x 5    ;    (-3 ) x 5    ;    (-3) x (-5)    ;    3 x (-5)

Parece natural que el valor absoluto de los productos escritos sea 15 en todo caso, pero ¿Qué signo debemos dar al resultado? Aunque en principio parezca arbitrario; pronto veremos que la decisión más natural es la siguiente.

REGLA DE LOS SIGNOS

Si los dos factores tienen el mismo signo, el producto es positivo, si los dos factores son de signo contrario, el pro­ducto es negativo. Así tenemos:

(+) x (+) = +    ;     3 x 5 = 15

(-) x (-) = +      ;     (-3) x (-5) = 15

(+) x (-) = -      ;     3 x (-5) = -15

(-) x (+) = -      ;     (-3) x 5 = -15

SUPRESIÓN DEL SIGNO "x"

Cuando los factores de un producto se representan por letras se suele omitir el signo de multiplicar.

Escribiremos, ab mejor que a x b y que a.b

También se suprime el signo de multiplicar cuando algún factor está en un paréntesis se escribe:

a (b + c) en vez de: a x (b + c)

y también: 3a + 5 en vez de: 3 x a + 5

Recuerda que.

PRODUCTO DE VARIOS FACTORES

Producto de varios factores es el resultado de multiplicar el primero por el segundo, el resultado por el tercero, y así sucesivamente hasta el último.

En realidad, como cada dos signos (-) da un signo (+), el cálculo se realiza de acuerdo con la siguiente regla:

El valor absoluto del producto se obtiene multiplicando los valores absolutos de los factores. El producto es positivo si el número de factores negativos es Par, y es negativo si el número es Impar.

Ejemplos:

a) 2 • (-3) • 4 • (-5) = 120    (El producto es (+) ya que el número de factores negativos es par)

b) (-2) • (-6) • 3 • (-4) = -144    (El producto es (-) ya que el número de factores negativos es impar.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS

1) Propiedad de Clausura

El producto de dos números enteros cualesquiera es otro número entero.

Así: Si: a $\in\; \mathbb{Z} $ y b $\in\; \mathbb{Z} $ , entonces: a.b $\in\; \mathbb{Z} $

Ejemplo:

Si: 4 $\in\; \mathbb{Z}$ y 6 $\in\; \mathbb{Z}$ ; entonces: 4 . 6 = 24 ; 24 $\in\; \mathbb{Z}$

Si: -7 $\in\; \mathbb{Z}$ y 5 $\in\; \mathbb{Z}$ ; entonces: (-7) . 5 = -35 ; -35 $\in\; \mathbb{Z}$

2) Propiedad Conmutativa:

El orden de los factores no altera el producto. Así:

Si: a $\in\; \mathbb{Z}$ ; b $\in\; \mathbb{Z}$, entonces a . b = b . a

Ejemplos.

Si: 7 $\in\; \mathbb{Z}$ y 8 $\in\; \mathbb{Z}$ ; entonces: 7 . 8 = 8 . 7

Si: -5 $\in\; \mathbb{Z}$ y 9 $\in\; \mathbb{Z}$ ; entonces: (-5) . 9 = 9 . (-5)

3) Propiedad Distributiva de la Multiplicación Respecto a la Adición:

Si: a, b y c son números enteros cualesquiera, entonces:

a . ( b + c) = a . b + a . c

Ejemplos:

a) 3 . (5 + 2) = 3 . 5 + 3 . 2

b) -4 . ( 7-5) = 4 . 7 - 4 . (-5)

c) 6 . [ (-2) + (-3) ] = 6 (-2) + 6 (-3)

d) 11 (a - b + c) = 11a - 1 1b + 11c

Sacar Factor Común:

En la expresión: A x C + B x C = C x ( A + B)

En el primer miembro cada término contiene el factor C. En el segundo miembro, C multiplica a una suma de números enteros.

Se dice que se ha sacado "C" Factor Común, o que ha puesto la suma en forma de producto.

Ejemplos:

Calcula después de haber sacado factor común:

a) 13 x 5 + 13 x 2 - 13 x 6 = 13(5 + 2 - 6 )

                                        = 13(1) = 13

b) 12 x 7 - 3 x 7 + 8 x 7 - 4 x 7 = 7 (12 - 3 + 8 - 4 )

                                                = 7(13) = 91

c) 10 x 3 - 5 x 21 + 5 x 41 = 5 x 2 x 3 - 5 x 21 + 5 x 41

                                        = 5(2 x 3 - 21 + 41)

                                        = 5(26) = 130

d) 12 x 7 - 6 x 9 + 18 x 2 = 6 x 2 x 7 - 6 x 9 + 6 x 3 x 2

                                       = 6 (2 x 7 - 9 + 3 x 2) = 6(11) = 66 

e) 6x - 6y + 6z = 6(x - y + z).

4) Propiedad Multiplicativa del 1 o Elemento Neutro o Elemento Identidad.

Para todo entero "a", existe un número entero llamado (1), o identidad multiplicativa, tal que:

a . 1 = a

Ejemplos.

a) 13 . 1 = 13

b) - 7 . 1 = - 7

5) Propiedad Multiplicativa del 0.

Si: a y b son números enteros cualesquiera, entonces: a . b = 0 si y sólo si al menos uno de los factores es cero.

Ejemplos.

a) (-5) . 0 = 0

b) 0 . (-9 ) = 0

6) Propiedad de Monotomía.

Si a los dos miembros de una igualdad se les multiplica por un mismo número, diferente de cero, entonces los productos también son iguales.

En General:

Si: a = b ; entonces: a x c = b x c

Ejemplo: 

Si: 6 + 8 = 14; multiplicamos los dos miembros "x5"

(6 + 8) . 5 = 14 . 5

6 . 5 + 8 . 5 = 14 . 5

              70 = 70

7) Propiedad Cancelativa.

Si en los dos miembros de una igualdad existe un mismo factor diferente de cero, puede suprimirse dicho factor.

Ejemplos.

Si: 6 . 10 = 10 . x ; puede cancelarse o suprimirse el factor 10.

Entonces: 6 = x

Si: 7 . y = -21 ; el número -21 = -3 . 7

Luego: 7 . y = - 3 . 7 ; cancelamos el factor 7.

Entonces: y = -3

Si: 9 . x = 36 ; el número: 36 = 9 . 4

Luego: 9 . x = 9 . 4 ; cancelamos el factor 9.

Entonces: x = 4

Si: -3 . 4x = 24 ; el número: 24 = 3 . 4 . 2

Luego: -3 . 4x = 3 . 4 . 2 ; cancelamos los factores 3 . 4

Entonces: -x = 2    $\Rightarrow $    x = -2