La resolución de los triángulos oblicuángulos, exige conocer tres de sus elementos (puede ser dos lados y un ángulo, tres lados, un lado y dos ángulos). Siguiendo las mismas normas que en los triángulos rectángulos.
TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO.
Es aquél que no es recto ningún lado de sus ángulos. En triángulo oblicuángulo, los tres ángulos son agudos o dos son agudos y el tercero es obtusángulo.
Los ángulos se llamaran A, B, y C, y las longitudes de los correspondientes lados opuestos se llamaran a, b, y c.
Un triángulo queda perfectamente determinado cuando se conocen tres cualesquiera de sus elementos, no todos los ángulos. Los cuatro casos de triángulos oblicuángulos son:
CASO I). Dados un lado y dos ángulos.
CASO II). Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
CASO III). Dados dos lados y el ángulo comprendido.
CASO IV). Dados los tres lados.
LEY DE LOS SENOS (LEY DE BRIGGS).
En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos y la constante de proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia que circunscribe a dicho triángulo; esto es:
\frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}
Son inmediatas a las siguientes relaciones:
\frac{a}{b}=\frac{senA}{senB}; \frac{b}{c}=\frac{senB}{senC}; \frac{c}{a}=\frac{senC}{senA}
FÓRMULAS DE MOLLVEIDE.
En todo triángulo ABC, son validad las relaciones siguientes:
\frac{a+b}{c}=\frac{cos\frac{1}{2}(A-B)}{sen\frac{1}{2}C}
\frac{a-b}{c}=\frac{sen\frac{1}{2}(A-B)}{cos\frac{1}{2}C}
Conjuntamente con las que se obtienen mediante un cambio cíclico de las letras; es decir.
\frac{b+c}{a}=\frac{cos\frac{1}{2}(B-C)}{sen\frac{1}{2}A}; \frac{b-c}{a}=\frac{sen\frac{1}{2}(B-C)}{cos\frac{1}{2}A}
\frac{c+a}{b}=\frac{cos\frac{1}{2}(C-A)}{sen\frac{1}{2}B}; \frac{c-a}{b}=\frac{sen\frac{1}{2}(C-A)}{cos\frac{1}{2}B}
Y las obtenidas al intercambiar las dos letras (minúscula y mayúscula) que aparecen en los numeradores de cada relación.
FÓRMULAS DE LA PROYECCIÓN.
En todo triángulo ABC
a = b cos C + c cos B
b = c cos A + a cos C
c = a cos B + b cos A
CASO I). Dados un lado y dos ángulos.
Ejemplo.
Supóngase conocidos a, B y C
Para encontrar A, aplique A = 180º - (B + C)
Para encontrar b, aplique \frac{a}{b}=\frac{senA}{senB} de donde b = \frac{a\; senB}{senA}
Para encontrar c, aplique \frac{c}{a}=\frac{senC}{senA} de donde c = \frac{a\; senC}{senA}
Ejercicio:
Resolver el triángulo ABC, dados c = 25, A = 35º y B = 68º
Para encontrar C: C= 180º - (A + B) = 180º
C = 180º - (35º + 68º)
C = 180º - 103º
C = 77º
Para encontrar a: a = \frac{c\; senA}{senC}
a = \frac{25\; sen35º}{sen77º}
a = \frac{25(0,5736)}{0,9744}
a = 14,72
Para encontrar b: b = \frac{c\; senB}{senC}
b = \frac{25\; sen68º}{sen77º}
b = \frac{25(0,9272)}{0,9744}
b = 23,97
Para comprobar según la fórmula de Mollweide:
\frac{b+a}{c}=\frac{cos\frac{1}{2}(B-A)}{sen\frac{1}{2}C} ó (b + a) sen\frac{1}{2}C = c cos \frac{1}{2}(B - A)
(b + a) sen\frac{1}{2}C = (23,79 + 14,72) sen\frac{1}{2}77º
= (23,79 + 14,72) sen38,5º
= (38,51) (0,6225) = 23,97
c cos \frac{1}{2}(B - A) = 25 cos \frac{1}{2}(68º - 35º)
= 25 cos \frac{1}{2}(33º)
= 25 cos 16,5º
= 25 (0,9588) = 23,97
Para comprobar según la fórmula de la proyección:
c = a cos B + b cos A = 14,72 cos 68º + 23,79 cos 35º
= 14,72 (0,3746) + 23,79 (0,8192)
= 25
Los elementos buscados son: a = 14,72; b = 23,79; C = 77º
CASO II). Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Ejemplo.
Supóngase conocidos b, c y B
De \frac{senC}{senB}=\frac{c}{b}; sen C = \frac{c\; senB}{b}
Si sen C > 1, el ángulo C no está determinado.
Si sen C = 1, C = 90º y queda determinado un triángulo rectángulo.
Si sen C < 1, queda determinado dos ángulos: un ángulo C y un ángulo obtuso C' = 180º - C. Así, puede quedar determinado un sólo triángulo, o pueden quedar determinados dos triángulos.
Cuando el ángulo dado es agudo, sucede que:
a) existe una solución si el lado opuesto al ángulo dado es igual o mayor que el otro lado dado.
b) No hay solución, existe una solución (triángulo rectángulo) o existen dos soluciones si el lado opuesto al ángulo dado es menor que el otro lado dado.
c) No hay solución si el lado opuesto al ángulo dado es igual o menor que el otro lado dado.
d) Existe una solución si el lado opuesto al ángulo dado es mayor que el otro lado dado.
Ejemplo:
- Cuando b = 30, c = 20 y B = 40º, existe una solución porque B es agudo y b > c.
- Cuando b = 20, c = 30 y B = 40º, puede suceder que no haya solución o que haya una o dos soluciones. el subcaso particular se determina después de calcular sen C = \frac{c\; senB}{b}.
- Cuando b = 30, c = 20 y B = 140º, existe una solución.
- Cuando b = 20, c = 30 y B = 140º, no existe una solución.
Este caso, llamado ambiguo, se resuelve mediante la ley de los senos y se comprueba por las fórmulas de Mollweide o por las fórmulas de proyección.
Ejercicio.
Resolver el triángulo ABC, dados c = 628, b = 480 y C = 55º
Como C es agudo y c > b, la solución es única.
Para B: sen B = \frac{b\; senC}{c}
sen B = \frac{480\; sen55º}{628}
sen B = \frac{480(0,8192)}{628}
sen B = 0,62261
B = 38,51º
Para A: A = 180º - (B + C)
A = 180º - (38,51º + 55º)
A = 180º - 93,51º
A = 86,49º
Para a: a = \frac{480\; sen86,49º}{sen38,51º}
a = \frac{480\; (0,9981)}{0,6227}
a = 769,37
Comprobación:
(a + b) sen\frac{1}{2}C = c cos\frac{1}{2}(A - B)
(a + b) sen\frac{1}{2}C = (769,37 + 480) sen\frac{1}{2}55º
= (1249,37) sen27,5º
= (1249,37) (0,4617) = 576,83
c cos\frac{1}{2}(A - B) = 628 cos\frac{1}{2}(86,49º - 38,51º)
= 628 cos\frac{1}{2}(47,98º)
= 628 cos23,99º
= 628 (0,9136) = 573,74
Los elementos buscados son: B = 38,51º; A = 86,49º; a = 769,37
LEY DE LOS COSENOS (LEY DE CARNOT).
En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos lados por el coseno del triángulo que forman.
a^{2}=b^{2}+c^{2} - 2bc cos A
b^{2}=c^{2}+a^{2} - 2ca cos B
c^{2}=a^{2}+b^{2} - 2ab cos C
CASO III). Dados dos lados y el ángulo comprendido.
Ejemplo.
Supóngase conocidos a, b y C
Para encontrar c, aplique c^{2}=a^{2}+b^{2} - 2ab cos C
Para encontrar A, aplique sen A = \frac{a\; senC}{c}
Para encontrar B, aplique sen B = \frac{b\; senC}{c}
Para la comprobación aplique A + B + C = 180º
Ejercicio.
Resolver el triángulo ABC, dados a = 322, c = 212 y B = 110º
Para b: b^{2}=c^{2}+a^{2} - 2ca cos B
b^{2}=212^{2}+322^{2} - 2(212)(322) cos 110º
b^{2}=212^{2}+322^{2} - 2(212)(322) (-0,3420)
b^{2}= 44944 + 103684 + 46692,58
b^{2}= 195320,58 y b = 441,95
Para A: sen A = \frac{a\; senB}{b}
sen A = \frac{322\; sen110º}{441,95}
sen A = \frac{322\; (0,9397)}{441,95}
sen A = 0,6847
A = 43,21º
Para C: sen C = \frac{c\; senB}{b}
sen C = \frac{212\; sen110º}{441,95}
sen C = \frac{212\; (0,9397)}{441,95}
sen C = 0,4508
C = 26,79º
Comprobación.
A + B + C = 180º
43,21º + 110º + 26,79º = 180º
Los elementos buscados son: A = 43,21º, C = 26,79º y b = 441,95
CASO IV). Dados los tres lados.
Ejemplo.
Conocidos a, b y c, despejar convenientemente la ley de los cosenos para cada uno de los ángulos.
Para encontrar los ángulos, aplique.
cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}; cos B = \frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}; cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}
Para la comprobación, aplique: A + B + C=180º
Ejercicio.
Resolver el triángulo ABC, dados a = 25,2; b = 37,8 y c = 43,4
Para A: cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}
= \frac{(37,8)^{2}+(43,4)^{2}-(25,2)^{2}}{2(37,8)(43,4)}
= \frac{1428,84+1883,35-635,04}{3281,04}
= 0,8159 y A = 35,32º
Para B: cos B = \frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}
= \frac{(43,4)^{2}+(25,2)^{2}-(37,8)^{2}}{2(43,4)(25,2)}
= \frac{1883,35+635,04-1428,84}{2187,36}
= \frac{1883,35+635,04-1428,84}{2187,36}
= 0,4981 y B = 60,13º
Para C: cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}
= \frac{(25,2)^{2}+(37,8)^{2}-(43,4)^{2}}{2(25,2)(37,8)}
= \frac{625,04+1428,84-1883,56}{1905,12}
= 0,089 y C = 84,89º
Comprobación:
A + B + C = 180º
35,32º + 60,13º + 84,89º = 180, 34º \cong 180º
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