RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN

Es la relación por cociente o división entre dos cantidades o magnitudes de una misma especie; es decir una razón es un número racional adimensional.

Es el resultado que se obtiene al compararse dos cantidades homogéneas mediante una determinada operación.

1) Si la comparación se realiza mediante una diferencia, la razón se denomina Razón Aritmética (R.A).

Es decir:

Antecedente - consecuente = R. A.

2) Si la comparación se realiza mediante un división, la razón es denominada Razón Geométrica (R.G).

Es decir:

Antecedente ÷ Consecuente = R. G.

En general:

$r_{a}$ = a - b

$r_{g}$ = a ÷ b

donde :

$r_{a}$ : Razón Aritmética                           a : antecedente

$r_{g}$ : Razón Geométrica                          b : consecuente

PROPORCIÓN

Si se tiene dos razones que son iguales a un mismo número racional q entonces es posible utilizar el axioma transitivo de la igualdad e igualar estas razones formándose lo que se conoce como una proporción.

Es la relación de igualdad que se establece entre dos razones homogéneas.

1) Si la relación de igualdad se establece entre dos razones aritméticas se llama Proporción Aritmética.

2) Si la relación de igualdad se establece entre 2 razones geométricas se llama Proporción Geométrica.

En general:

P. Aritmética : a - b = c - d

P. Geométrica : a / b = c / d

TÉRMINOS DE LA PROPORCIÓN

a : es el primer término

b : es el segundo término

c : es el tercer término

d : es el cuarto término

a y b : son los extremos de la proporción

b y c : son medios de la proporción

a y c : son antecedentes de la proporción

b y d : son consecuentes de la proporción

CUARTA PROPORCIONAL.

Dadas tres cantidades a, b y c se llama cuarta proporcional de estas tres unidades de un numero x, tal que con las tres cantidades se forme una proporción.

Ejemplo

a = 3, b = 4, c = 9

Entonces x = 12 y es la cuarta proporcional de a, b y c.

MEDIA PROPORCIONAL.

Si una proporción tiene sus medios o extremos iguales entonces a estas cantidades iguales se les conoce como media proporcional de las otras dos.

Ejemplo

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

1) En toda proporción se pueden invertir las razones de modo que se obtiene otra proporción.

Ejemplo

2) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Ejemplo

A la media proporcional se conoce como media geométrica o proporción continua, así:

Y es la media geométrica o proporción continua.

3) En toda proporción se pueden sumar o restar a los antecedentes sus respectivos consecuentes, obteniéndose otra proporción.

Ejemplo

4)  Dada una serie (3 o más) entonces la suma de los antecedentes es la suma de los consecuentes como cualquier antecedente es a su respectivo consecuente.

Ejemplo

5) Regla de la cadena de las razones.

Ejemplo

CLASES DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA

P.A. Discreta: Aquella en la que sus 4 términos son números diferentes.

a - b = c - d

   Cada término es cuarta diferencial de los demás.

   así:

   d : cuarta diferencial de a, b y c

   

   Cuarta diferencial :

   

   d = (b + c) - a

   

   P.A. Continua: Aquella en la que sus términos medios son números iguales.

   a - b = b – c

   Cada término igual es media diferencial de los demás.

   Cada término diferente es tercera diferencial

   

   Entonces :

   

   b : media diferencial de a y c

   c : tercia diferencial de a y b 

   

   Media diferencial o Aritmética:

   $$b=\frac{a+c}{2}$$

   Tercera o Tercia diferencial:

   c = 2b - a

   CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

   

   P.G. Discreta: Aquella en al que sus 4 términos son diferentes. 

   $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

 

   Cada término es cuarta proporcional de las demás.

   

   d : cuarta proporcional de a, b y c

   Cuarta proporcional:

   $$d=\frac{bc}{a}$$

   P. G. Continúa: Aquella en la que los términos medios son números iguales.

   $$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$$

   Cada término igual es media proporcional de los otros dos, cada término diferente es tercera proporcional de los demás.

   Luego:

   b : media proporcional de a y c                   c : tercera proporcional de a y b

   Media Proporcional o Geométrica: 

   $$b=\sqrt{ac}$$

   Tercera o Tercia Proporcional 

   $$c=\frac{b^{2}}{a}$$

   SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

   Se denomina así al conjunto de más de 2 razones que tienen el mismo valor.

   Ejemplo:

   $$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=0,5$$

   En general:

  $$\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}=\cdot \cdot \cdot \frac{a_{n}}{b_{n}}=k\cdot \cdot \cdot \left ( I \right )$$

   Ejemplo:

   $$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{6}{9}=\frac{8}{12}=k\cdot \cdot \cdot \left ( I \right ),k=\frac{2}{3}$$

   de donde:

   $a_{1},\, a_{2},\, a_{3},\, \cdot \cdot \cdot ,a_{n}:Antecedentes$

   $b_{1},\, b_{2},\, b_{3},\, \cdot \cdot \cdot ,b_{n}:Consecuentes$

   $k:Valor\,  constante\,  o\,  constante\,  de\,  proporcionalidad$

   

   PROPIEDADES:

   Dada una serie de Razones Equivalentes como ( I ) entonces :

   1º Propiedad:

 $$\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdot \cdot \cdot +a_{n}}{b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdot \cdot \cdot +b_{n}}=k$$

   Ejemplo:

   $$\frac{2+4+6+8}{3+6+9+12}=k=\frac{2}{3}$$

   2º Propiedad:

   $$\frac{a_{1} \times a_{2}\times a_{3}\times \cdot \cdot \cdot \times a_{n}}{b_{1}\times b_{2}\times b_{3}\times \cdot \cdot \cdot\times b_{n}}=k^{n}$$

   Donde: 

   n : Número de razones que conforman la serie.

   Ejemplo:

   $$\frac{2\times 4\times6\times8}{3\times6\times9\times12}=k^{4}=\left (\frac{2}{3}  \right )^{4}=\frac{16}{81}$$

   3º Propiedad:

   $$\frac{a_{1}^{m}}{b_{1}^{m}}=\frac{a_{2}^{m}}{b_{2}^{m}}=\frac{a_{3}^{m}}{b_{3}^{m}}=\cdot \cdot \cdot =\frac{a_{n}^{m}}{b_{n}^{m}}=k^{m}$$

   Ejemplo:

   $$\frac{2^{3}}{3^{3}}=\frac{4^{3}}{6^{3}}=\frac{6^{3}}{9^{3}}=\frac{8^{3}}{12^{3}}=k^{3}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{3}$$

   Aplicando la primera propiedad:

   $$\frac{a_{1}^{m}+a_{2}^{m}+a_{3}^{m}+\cdot \cdot \cdot +a_{n}^{m}}{b_{1}^{m}+b_{2}^{m}+b_{3}^{m}+\cdot \cdot \cdot +b_{n}^{m}}=k^{m}$$

   Ejemplo:

 $$\frac{2^{3}+4^{3}+6^{3}+8^{3}}{3^{3}+6^{3}+9^{3}+12^{3}}=k^{m}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{3}$$

   4º Propiedad: 

   $$\frac{\sqrt[m]{a_{1}^{m}+a_{2}^{m}+a_{3}^{m}+\cdot \cdot \cdot +a_{n}^{m}}}{\sqrt[m]{b_{1}^{m}+b_{2}^{m}+b_{3}^{m}+\cdot \cdot \cdot +b_{n}^{m}}}=\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}=\cdot \cdot \cdot \frac{a_{n}}{b_{n}}=k$$

   Ejemplo:

   $$\frac{\sqrt[3]{2^{3}+4^{3}+6^{3}+8^{3}}}{\sqrt[3]{3^{3}+6^{3}+9^{3}+12^{3}}}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{6}{9}=\frac{8}{12}=k=\frac{2}{3}$$